Question

no binômio de newton (x^3 - 1/y^2)^25 escreva o termo x^9 , calculando o respectivo coeficiente.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{2300~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar o coeficiente de um termo específico da expansão do binômio de Newton: $\left(x^3-\dfrac{1}{y^2}\right)^{25}$.

Para isso, lembre-se que dada uma expansão $(a+b)^n$, utilizamos a fórmula do termo geral: $T_{p+1}=\displaystyle{\binom{n}{p}\cdot a^{n-p}\cdot b^p$.

Substituindo os elementos, teremos o termo geral:

$T_{p+1}=\displaystyle{\binom{25}{p}\cdot (x^3)^{25-p}\cdot \left(-\dfrac{1}{y^2}\right)^p$

Então, nos foi dito que deve-se determinar o coeficiente do termo $x^9$. Veja que neste caso, não existe um termo que contenha somente $x^9$, porém pode-se calcular aquele que apresenta esta expressão.

Para isso, utilize a propriedade de potência: $\Large\boxed{(a^m)^n\Leftrightarrow a^{m\cdot n}}$

$T_{p+1}=\displaystyle{\binom{25}{p}\cdot x^{75-3p}\cdot \left(-\dfrac{1}{y^2}\right)^p$

Então, iguale as bases: $x^{75-3p}=x^9$

Igualando os expoentes, teremos:

$75-3p=9$

Subtraia $75$ em ambos os lados da equação

$-3p=-66$

Divida ambos os lados da equação por $-3$

$p=22$

Assim, descobrimos o valor de $p$. O coeficiente, de fato, seria o número binomial que multiplica este valor, porém veja que ainda há uma potência a ser calculada!

Então, o termo geral seria:

$T_{23}=\displaystyle{\binom{25}{22}\cdot x^9\cdot \left(-\dfrac{1}{y^2}\right)^{22}$

Calcule a potência

$T_{23}=\displaystyle{\binom{25}{22}\cdot x^9\cdot \dfrac{(-1)^{22}}{(y^2)^{22}}}\\\\\\ T_{23}=\displaystyle{\binom{25}{22}\cdot x^9\cdot \dfrac{1}{y^{44}}$

Então, podemos calcular o número binomial, que neste caso, ainda será o coeficiente deste elemento: Lembre-se que $\displaystyle{\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!}$, tal que $n!$ é o fatorial do número.

Dessa forma, teremos:

$\displaystyle{\binom{25}{22}=\dfrac{25!}{22!\cdot(25-22)!}$

Some os valores entre parênteses

$\displaystyle{\binom{25}{22}=\dfrac{25!}{22!\cdot3!}$

Sabendo que $n!=n\cdot (n-1)\cdots 1$, podemos reescrever o fatorial como:

$\displaystyle{\binom{25}{22}=\dfrac{25\cdot24\cdot23\cdot 22!}{22!\cdot3\cdot2\cdot1}$

Cancele os termos inversos e multiplique os valores

$\displaystyle{\binom{25}{22}=\dfrac{13800}{6}$

Simplifique a fração

$\displaystyle{\binom{25}{22}=2300$

Este é o coeficiente que buscávamos.