Quantos números naturais escritos na forma 52A7B , contendo 5 algarismos, são múltiplos de 8 e 9 ?
Respostas
Resposta: 2
Explicação passo-a-passo:
Os números pertencem ao intervalo ]52000, 53000[ e são múltiplos de 72, pois são, simultaneamente, múltiplos de 8 e de 9. Logo, dividindo-se os extremos desse intervalo por 72, tem-se ]722,22..., 736,11...[. Com isso, o menor múltiplo de 72 maior que 52000 é 72*723 = 52056; de modo análogo, o maior múltiplo de 72 menor que 53000 é 72*736 = 52992. Portanto, o intervalo [52056, 52992] contém múltiplos naturais de 72 escritos na forma 52A7B.
Assim, A pode ser igual a B ou a 7. B tem de ser par, já que todos os múltiplos de 72 também são. Além disso, os três algarismos finais, quando somados, "noves fora" 2, porque sua soma pode 2, 11 ou 20.
Dessa forma, se A = B, então (A + 7 + B) "noves fora" 2 e A + B = 4, ou seja, A = B = 2 e o número procurado é 52272.
Se A = 7, então (7 + 7 + B) "noves fora" 2 e B = 6 e o número procurado é 52776.
Logo, são 2 números, como se pode verificar na sequência intervalar completa:
[52056, 52128, 52200, 52272, 52344, 52416, 52488, 52560, 52632, 52704, 52776,52848, 52920, 52992]
Há 2 números naturais escritos na forma 52A7B que são múltiplos de 8 e 9.
Sabendo que os algarismos A e B podem ser substituídos pelos números de 0 a 9, concluímos que devemos considerar apenas os números entre 52000 e 52999.
Para que um número seja múltiplo de 8 e 9 simultaneamente, ele deve ser múltiplo de 72. O primeiro múltiplo de 72 maior que 52000 é 52056, o último múltiplo de 72 nesse intervalo é 52992.
Somando 72 ao primeiro múltiplo, podemos encontrar todos eles:
52056, 52128, 52200, 52272, 52344, 52416, 52488, 52560, 52632, 52704, 52776, 52848, 52920, 52992.
Mas queremos apenas os números do tipo 52A7B. Eles são: 52272 e 52776.