Question

Seja $n= a_{r} a_{r-1} ... a_{3} a_{2} a_{1}$ um número natural escrito em sua representação decimal. Mostre que $n$ é divisível por 7, 11 ou 13 se, e somente se, $a_{2} a_{1} a_{0} - a_{5} a_{4} a_{3} + a_{8} a_{7} a_{6} -...$ é divisível, respectivamente, por 7, 11 ou 13.
(observe que 1001= 7*11*13)

Answer 1

$a_{2} a_{1} a_{0} - a_{5} a_{4} a_{3} + a_{8} a_{7} a_{6} -\cdots \equiv a_{2} a_{1} a_{0} +\\ 10^3 a_{5} a_{4} a_{3} + 10^6a_{8} a_{7} a_{6}+\cdots \mod 1001\\ \\ a_{2} a_{1} a_{0} - a_{5} a_{4} a_{3} + a_{8} a_{7} a_{6} -\cdots \equiv \overline{a_ra_{r-1}\cdots a_2a_1}\mod1001$