• Matéria: Matemática
  • Autor: ellennascimento10
  • Perguntado 6 anos atrás

Calcular a área entre as curvas y = x² – 4 e y = x – 3 .      

Respostas

respondido por: SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\dfrac{5\sqrt{5}}{6}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos a área entre as duas curvas, utilizaremos integrais.

Sejam as funções f(x) e g(x), limitadas em um intervalo cujos limites são definidos pelos pontos de intersecção das funções.

Devemos esboçar o gráfico das funções e analisar seus comportamentos neste intervalo. Se, em todo o intervalo [a,~b]\in\mathbb{R}, f(x)\geq g(x), a área entre as curvas é dada por: \displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx.

Igualando as funções para encontrarmos os limites de integração, temos:

x^2-4=x-3

Subtraia x-3 em ambos os lados da equação

x^2-x-1=0

Utilize a fórmula resolutiva para encontrarmos as soluções:

x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}

Calcule as potências e multiplique os valores

x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}

Some os valores e separe as soluções

x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}~~~\mathsf{ou}~~~x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

Conhecendo estes valores, temos o número de ouro: 1-\varphi e \varphi.

Então, nosso intervalo de integração é [1-\varphi,~\varphi]. Analisando o comportamento das funções, vemos que neste intervalo x-3\geq x^2-4.

Dessa forma, a área entre as curvas será dada pela integral:

\displaystyle{\int_{1-\varphi}^{\varphi}x-3-(x^2-4)\,dx

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

\displaystyle{\int_{1-\varphi}^{\varphi}-x^2+x+1\,dx

Lembre-se que:

  • A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
  • A integral de uma potência é dada por: \displaystyle{\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
  • A integral definida de uma função contínua em um intervalo [a,~b] é dada por: \displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = F(x)~\biggr|_a^b = F(b)-F(a).

Calcule a integral

-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x~\biggr|_{1-\varphi}^{\varphi}

Aplique os limites de integração

-\dfrac{\varphi^3}{3}+\dfrac{\varphi^2}{2}+\varphi-\left(-\dfrac{(1-\varphi)^3}{3}+\dfrac{(1-\varphi)^2}{2}+1-\varphi\right)

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

-\dfrac{\varphi^3}{3}+\dfrac{\varphi^2}{2}+\varphi+\dfrac{(1-\varphi)^3}{3}-\dfrac{(1-\varphi)^2}{2}-1+\varphi

Calcule as potências

-\dfrac{\varphi^3}{3}+\dfrac{\varphi^2}{2}+\varphi+\dfrac{1-3\varphi+3\varphi^2-\varphi^3}{3}-\dfrac{1-2\varphi+\varphi^2}{2}-1+\varphi

Some as frações

\dfrac{6\varphi^2-4\varphi^3+12\varphi-7}{6}

Sabendo que \varphi^{n+1}=\varphi^n+\varphi^{n-1}, temos

\dfrac{6(\varphi+1)-4(2\varphi+1)+12\varphi-7}{6}\\\\\\ \dfrac{10\varphi-5}{6}

Este é o resultado desta integral, que também pode ser reescrito como:

\dfrac{5\sqrt{5}}{6}

Anexos:
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