Question

Resolvendo a equação, em IR, literal do 2º grau na incógnita z, teremos: z2 – (k + 4)z + 4k = 0, onde k > 4

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação literal do segundo grau

Dada a equação :

$\sf{ \pink{ z^2 - (k + 4)z + 4k~=~ 0 } }$

$\sf{ Coeficientes: } \begin{cases} \sf{ a~=~ 1 } \\ \\ \sf{ a~=~ -(k + 4) } \\ \\ \sf{ a~=~ 4k } \end{cases}$

Achando o discriminante da equação :

$\sf{ \purple{ \Delta ~=~ b^2 - 4 * a * c } }$

$\Longrightarrow \sf{ \Delta~=~ [ -(K + 4) ]^2 - 4*1*4k }$

$\Longrightarrow \sf{ \Delta~=~ k^2 + 8k + 16 - 16k }$

$\Longrightarrow \sf{ \Delta ~=~ k^2 - 8k + 16 }$

$\Longrightarrow \boxed{ \color{blue}{ \sf{ \Delta ~=~ (k - 4)^2 } } }$

Pelo bhaskara vamos ter que :

$\Longrightarrow \boxed{ \pink{ \sf{ x~=~ \dfrac{-b \pm \sqrt{ \Delta} }{2a} } } }$

$\Longrightarrow \sf{ x~=~ \dfrac{ -[-(k + 4)] \pm \sqrt{ (k - 4)^2} }{2*1} }$

$\Longrightarrow \sf{ x~=~ \dfrac{ (k + 4) \pm | k - 4 | }{2} }$

Perceba que o enunciado diz que k > 4, então se k > 4 podemos ter que em |k - 4| o k - 4 é sempre > 0, então se é sempre maior que zero podemos descartar os módulos pois módulo d'um qualquer número k pertencente aos reais é sempre maior ou igual a zero.

Então :

$\Longrightarrow \sf{ x~=~ \dfrac{ (k + 4) \pm (k - 4)}{2} }$

$\Longrightarrow \sf{ x_{1}~=~ \dfrac{(k + 4)+(k - 4)}{2} \vee~ x_{2}~=~\dfrac{(k + 4)-(k - 4)}{2} }$

$\Longrightarrow \sf{ x_{1}~=~ \dfrac{ 2k }{2}~\vee~x_{2}~=~ \dfrac{8}{2} }$

$\Longrightarrow \sf{ x_{1}~=~k ~\vee~ x_{2}~=~4 }$

$\Longrightarrow \green{ \boxed{ \boxed{ \sf{ Sol: \{ 4~, ~ k \} }} } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)