Question

a medida em centímetros da base do retângulo é a soma de um número real com seu inverso ( x+1/x ). A medida da altura é a diferença entre esse mesmo número e seu inverso ( x-1/x ). qual é esse número se a área do retângulo é de 4,8 cm^2?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

A área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões

$\sf \left(x+\dfrac{1}{x}\right)\cdot\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=4,8$

$\sf \left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)\cdot\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)=4,8$

$\sf \dfrac{x^4-1}{x^2}=4,8$

$\sf x^4-1=4,8x^2$

$\sf 10x^4-48x^2-10=0$

$\sf 5x^4-24x^2-5=0$

Seja $\sf y=x^2$

$\sf 5y^2-24y-5=0$

$\sf \Delta=(-24)^2-4\cdot5\cdot(-5)$

$\sf \Delta=576+100$

$\sf \Delta=676$

$\sf x=\dfrac{-(-24)\pm\sqrt{676}}{2\cdot5}=\dfrac{24\pm26}{10}$

$\sf y'=\dfrac{24+26}{10}~\Rightarrow~y'=\dfrac{50}{10}~\Rightarrow~\red{y'=5}$

$\sf y"=\dfrac{24-26}{10}~\Rightarrow~y"=\dfrac{-2}{10}~\Rightarrow~y"=\dfrac{-1}{5}$ (não serve)

Logo:

$\sf x^2=5$

$\sf x=\sqrt{5}$