Question

Suponha que X tenha f.d.p dada por

Calcule E(X) e Var(X).

​

Answer 1

Resposta:

a)

E[X] =0  até ∞ ∫x * 2e^(-2x)  dx

∫x * 2e^(-2x)  dx

Fazendo por partes

u=x ==>du=dx

dv=2e^(-2x)  dx  ==>∫ dv=∫2e^(-2x)  dx ==>v =-e^(-2x)

∫x * 2e^(-2x)  dx  = -x*e^(-2x) - ∫(-e^(-2x)) dx

∫x * 2e^(-2x)  dx  = -x*e^(-2x) + ∫e^(-2x) dx

∫x * 2e^(-2x)  dx  = -x*e^(-2x) -(1/2) e^(-2x)

E[X] = 0  até ∞[-x*e^(-2x) -(1/2) e^(-2x) ]

Lim -x*e^(-2x)   = 0

x-->∞

E[X] = 0  até ∞[-∞*e^(-2*∞) -(1/2) e^(-2*0) ]

E[X]= 0+1/2=1/2

b)

Var[X]= E[X²] - {E[X]}²

E[X²]= 0  até ∞ ∫x²* 2e^(-2x)  dx

∫x²* 2e^(-2x)  dx

Fazendo por partes

u=x²==> du =2x dx

dv=2e^(-2x)  dx  ==>∫ dv=∫2e^(-2x)  dx ==>v =-e^(-2x)

∫x²* 2e^(-2x)  dx  =-x²e^(-2x)-∫(2x) *(-e^(-2x)) dx

∫x²* 2e^(-2x)  dx  =-x²e^(-2x)+2∫ x * e^(-2x) dx

**∫ x *e^(-2x) dx = -x*e^(-2x) -(1/2) e^(-2x) ...fizemos na (a)  

∫x²* 2e^(-2x)  dx  =-x²e^(-2x)+2*[-x*e^(-2x) -(1/2) e^(-2x)]

∫x²* 2e^(-2x)  dx  =-x²e^(-2x)-2x*e^(-2x) -(1/2)*e^(-2x)

E[X²]=0  até ∞ [ -x²e^(-2x)-2x*e^(-2x) -(1/2)e^(-2x)]

Lim -x²e^(-2x)-2x*e^(-2x) -(1/2)e^(-2x) = 0

x-->∞

E[X²] =[0+1/2] =1/2

Var[X} = 1/2 -[1/2]² =1/2-1/4 =1/4  ou 0,25