Question

Observe algumas leis de formação de funções quadraticas.
F(x)=x²+5x
G(x)=x²-2x+1
h(x)=2x²+5x+3
p(x)=3²+6x+4
q(x)=8x²
t(x)=x²+10
Quais funções:
a) possuem dois zeros iguais?
b) possuem zeros distintos?
c) não possuem zero?​

Answer 1

Resposta:

f(x)

f(x) = x^2 + 5xf(x)=x2+5x

Pondo x em evidência,

f(x) = x(x + 5)f(x)=x(x+5)

Para estudar o zero da equação, faça f(x) = 0,

0 = x\ (x + 5)0=x (x+5)

Como o segundo membro é um produto, para que ele seja igual a zero, um ou outro termo tem que ser igual a zero,

x = 0\ ou\ x = -5x=0 ou x=−5

g(x)

g(x) = x^2 - 2x + 1g(x)=x2−2x+1

Veja que o segundo membro de g(x) é igual a (x - 1)^2 = (x - 1)(x - 1) = x^2 -x -x +1 = x^2 - 2x + 1(x−1)2=(x−1)(x−1)=x2−x−x+1=x2−2x+1 .

Reescrevendo g(x), temos:

g(x) = (x - 1)(x - 1)g(x)=(x−1)(x−1)

Igualando g(x) a 0, temos:

0 = (x - 1)(x - 1)0=(x−1)(x−1)

A única solução é x = 1x=1 .

h(x)

h(x) = 2x^2 + 5x + 3h(x)=2x2+5x+3

Veja que o segundo membro de h(x) é igual a (2x + 3)(x + 1) = 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3(2x+3)(x+1)=2x2+2x+3x+3=2x2+5x+3 .

Reescrevendo h(x), temos:

h(x) = (2x + 3)(x + 1)h(x)=(2x+3)(x+1)

Igualando h(x) a 0, obtemos:

0 = (2x + 3)(x + 1)0=(2x+3)(x+1)

As soluções são, portanto, x = -{3 \over 2}\ e\ x = -1x=−23 e x=−1

p(x)

p(x) = 3x^2 + 6x + 4p(x)=3x2+6x+4

Igualando p(x) a 0, temos

0 = 3x^2 + 6x + 40=3x2+6x+4

Usando Bhaskara, temos:

x = {{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}} \over {2a}} e x = {{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}} \over {2a}}x=2a−b+b2−4acex=2a−b−b2−4ac

x = {{-6 + \sqrt{6^2 - 4(3)(4)}} \over {2(3)}} = {{ -6 + \sqrt{36 - 48}} \over {6}} = {{-6 + \sqrt{-12}} \over {6}} = -1 + {\sqrt{3} \over 3}ix=2(3)−6+62−4(3)(4)=6−6+36−48=6−6+−12=−1+33i

ou x = -1 - {\sqrt{3} \over 3}ix=−1−33i

q(x)

q(x) = 8x^2q(x)=8x2

Igualando q(x) a 0,

0 = 8x^20=8x2

x = 0x=0

t(x)

t(x) = x^2 + 10t(x)=x2+10

Igualando t(x) a 0,

0 = x^2 + 100=x2+10

x^2 = -10x2=−10

x = +\sqrt{-10}\ ou\ x = -\sqrt{-10}x=+−10 ou x