Question

URGENTE - Seja a equação x³ + x² + kx + t, em que k e t são coeficientes reais. sabendo que o complexo 1 - 2i é uma das raízes dessa equação , determine o valor de k e t.

Obs: Alguém me explicar essa questão, por favor! Todas as dicas sobre o assunto serão bem-vindas.

Answer 1

Resposta: t = 15 | k = -1

Explicação passo-a-passo:

Uma propriedade importantíssima em relação aos polinômios é que se um número complexo é raiz do polinômio, o seu conjugado também é.

Então se 1 - 2i é raiz, 1 + 2i também é.

Como é um polinômio do 3° grau, existem 3 raizes. Já achamos duas, vamos descobrir a outra raiz da equação, que vou chamar de "q".

A partir de diante, eu vou aplicar as Relações de Girard para descobrir os coeficientes.

A soma das raízes é $S = x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}$

Então:

$1 - 2i + 1 + 2i + q = \frac{-1}{1} \\2 + q = -1\\q = -3$

O produto direto das raízes é

$P_d = x_1.x_2.x_3 = \frac{-d}{a} \\(1 - 2i).(1 + 2i) . (-3) = -t\\(1 - 4i^2). 3=t\\(1 + 4).3 = t\\t = 15$

E ainda,  a soma das raízes dois a dois é:

$S_{2} = x_1.x_2 + x_1.x_3 + x_2.x_3 = \frac{c}{a}\\(1 - 2i).(1 +2i) + (1-2i).(-3) + (1+2i).(-3) = k\\5 - 3 + 6i -3 - 6i = k\\5 - 6 = k\\k = -1$

Espero ter ajudado, dê um like e marque a resposta com a melhor, se puder.