Determine a solução da equação xe^(x^2 ) dx+(y^5-1)dy=0 , para y(1)=0

Respostas

respondido por: MSGamgee85

Resposta:

$\mathsf{\dfrac{y^6}{6}-y=\dfrac{1}{2}(1-e^{x^2})}$

Explicação passo-a-passo:

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Essa tarefa é sobre equação diferencial ordinária, EDO.

Nesse tipo de equação estamos interessados em descobrir uma função y = y(x) que satisfaça a igualdade.

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

1. Queremos resolver a EDO:

$\mathsf{x\,e^{x^2} dx+(y^5-1)\,dy=0}$

sujeita a condição de contorno:

$\mathsf{y(1)=0}$

2. Essa é uma equação separável, isto é, podemos resolvê-la colocando em um lado da igualdade um função que só depende de x e, do outro lado, uma função que só depende de y.

$\mathsf{(y^5-1)\,dy=-x\,e^{x^2} dx\quad (1)}$

3. Integre o lado esquerdo com respeito a y:

$\mathsf{\displaystyle \int (y^5-1)\,dy=\dfrac{y^6}{6}-y+c_1\quad (2)}$

4. Integre o lado direito com respeito a x:

$\mathsf{\displaystyle \int x\,e^{x^2} dx}$

5. Faça a substituição:

$\mathsf{u=x^2\quad\rightarrow \quad du=2x\,dx}$

6. Calcule a integral:

$\mathsf{\displaystyle \int x\,e^{x^2} dx=\int \dfrac{e^u}{2}\,du=\dfrac{e^u}{2}+c_2}$

$\therefore \mathsf{\displaystyle \int x\,e^{x^2} dx=\dfrac{e^{x^2}}{2}+c_2\quad (3)}$

7. Substitua (2) e (3) em (1):

$\mathsf{\dfrac{y^6}{6}-y+c_1=-\dfrac{e^{x^2}}{2}-c_2}$

$\mathsf{\dfrac{y^6}{6}-y=-\dfrac{e^{x^2}}{2}-c_2-c_1}\\\\\mathsf{\dfrac{y^6}{6}-y=-\dfrac{e^{x^2}}{2}+C\quad \mathsf{(4)}}$

8. Tome a condição de contorno para obter a constante arbitrária C:

$\mathsf{y(1)=0}$

$\mathsf{\dfrac{y^6}{6}-y=-\dfrac{e^{x^2}}{2}+C}\\\\\mathsf{\dfrac{0^6}{6}-0=-\dfrac{e^{0}}{2}+C}\\\\\mathsf{0=-\dfrac{1}{2}+C}\\\\\therefore \mathsf{C=\dfrac{1}{2}}$