Question

Ache a solução particular para a equação dy/dx=(x^2-2x+1)/(y-1) , para y(1)=0

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{\dfrac{y^2}{2}-y=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x}$

Explicação passo-a-passo:

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• Essa tarefa é sobre equação diferencial ordinária, ou simplesmente EDO.

• Numa EDO estamos interessados em descobrir uma função y = y(x) que satisfaça a igualdade.

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

1. Queremos achar a solução da EDO:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2-2x+1}{y-1}}$

restrita a condição de contorno:

$\mathsf{y(1)=0}$

2. Essa EDO é do tipo separável. Equações separáveis são aquelas que podem ser escritas no formato f(x) dx = g(y) dy. Escrevemos:

$\mathsf{y-1\,dy=x^2-2x+1\,dx}$

3. Agora, integre os dois lados da equação:

$\mathsf{\displaystyle \int y-1\,dy=\displaystyle \int x^2-2x+1\,dx}$

$\mathsf{\dfrac{y^2}{2}-y+c_1=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2}+x+c_2}$

$\therefore \boxed{\mathsf{\dfrac{y^2}{2}-y=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x+C}}\\\\\mathsf{onde \quad C=c_2-c_1}$

4. Utilize a condição de contorno para obter a constante arbitrária C:

$\mathsf{y(1)=0}$

$\mathsf{\dfrac{0^2}{2}-0=\dfrac{0^3}{3}-0^2+0+C}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{C=0}}$

5. Portanto, a solução geral é:

$\boxed{\mathsf{\dfrac{y^2}{2}-y=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x}}$

Continue aprendendo com o link abaixo:

EDO Separável

https://brainly.com.br/tarefa/33080699

Bons estudos! :D

Equipe Brainly