Question

(a) Calcule o valor de tg(79p/3).

(b) Sabendo que x é um ângulo do 2º quadrante, e que tg(x) = – 5/12, determine o valor de cos(x).

Answer 1

$tan\left(\dfrac{79\cdot \pi}{3}\right) = \dfrac{sen\left(\dfrac{79\cdot \pi}{3}\right) }{cos\left(\dfrac{79\cdot \pi}{3}\right)}$

Por serem funções periódicas, os valores de seno e cosseno repetem a cada $2 \cdot \pi$ radianos. Dessa forma, podemos calcular qual foi o último ciclo de $2 \cdot \pi$, como 79 é ímpar, o último ciclo começou em 78. Assim:

$\dfrac{79 \cdot \pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$

e:

$tan\left(\dfrac{79\cdot \pi}{3}\right) = tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)= \dfrac{sen\left(\dfrac{\pi}{3}\right) }{cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}$

Sabendo que:

$sen\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$

Assim:

$tan\left(\dfrac{79\cdot \pi}{3}\right) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}$

$\boxed{tan\left(\dfrac{79\cdot \pi}{3}\right) = \sqrt{3}}$

(b)

$tan(x) = \dfrac{sen(x)}{cos(x)} = -\dfrac{5}{12}$

$sen(x) = -\dfrac{5}{12} \cdot cos(x)$

Sabendo que: $cos^2(x) + sen^2(x) = 1$:

$cos^2(x) + \left(-\dfrac{5}{12} \cdot cos(x)\right)^2 = 1$

$cos^2(x) + \dfrac{25}{144} \cdot cos^2(x) = 1$

$\dfrac{144}{144} \cdot cos^2(x) + \dfrac{25}{144} \cdot cos^2(x) = 1$

$\dfrac{169}{144} \cdot cos^2(x)= 1$

$\cos^2(x)= \dfrac{144}{169}$

$\cos(x)= \pm \sqrt{\dfrac{144}{169}}$

$\cos(x)= \pm \dfrac{12}{13}}$

Como é um ângulo do segundo quadrante e no segundo quadrante cosseno é negativo, ficamos com a parte negativa:

$\boxed{cos(x) = - \dfrac{12}{13}}$