Question

Considere os vetores −→u = (2, −1, 1) e −→v = (3, −3, 1). A área do paralelogramo
definido pelos vetores 2→u e →v −→u , em unidades de área, é?

a)2√14
b) 3√6
c)4√2
d) 5√3
e)6√2

Answer 1

Temos os seguinte vetores:

$\sf \vec{u} = \: \sf < 2, - 1,1 > \: \: \: \sf \vec{v} = \: < 3, - 3 ,1>$

A questão nos fala que a área de um paralelogramo qualquer é definida por 2u e v - u, ou seja, para encontrar os dados necessários temos que fazer algumas operações. Primeiro vamos relembrar essa "propriedade" de vetores:

Multiplicação de um número por um vetor:

$\boxed{ \sf a. < b ,c > \: = \: < a.b \: , \: a.c> }$

Como temos que multiplicar o número 2 pelo vetor u, vamos seguir essa propriedade acima:

$\sf 2. < 2 , - 1,1 > \: = \: < 2.(2) ,2. ( - 1),2.(1) > \: = \: < 4, - 2,2 > \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf 2 \vec{u} = \: < 4, - 2,2 > }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos lembrar de outra propriedade que usaremos mais pra frente. Subtração de vetores:

$\sf Sendo \: \vec{u} = \: < u_i , u_j ,u _k > \: \: e \: \: \vec{v} = \: < v_i,v_j,v_k > \\ \\ \boxed{\sf \vec{u} - \vec{v} = \: < (u_i - v_i) ,(u_j - v_j) , (u_k - v_k )> }$

Aplicando a propriedade no cálculo de v - u:

$\sf \vec{u} = \: < 2, −1, 1 > \: \: e \: \: \vec{v} = \: < 3, −3, 1 > \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \vec{v }- \vec{u} = \: < (3 - 2),( - 3 - ( - 1)),(1 - 1) > \\ \\ \boxed{ \sf \vec{v }- \vec{u} = \: < 1, - 2,0 > }$

Tendo feito o cálculo dos dados que usaremos, agora podemos ir de fato em busca da área do paralelogramo, onde primeiro vamos calcular o determinante desses dois dados que obtivemos:

$\sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u}) = \begin{bmatrix} \sf \vec{i}& \sf \vec{j}& \sf \vec{k} \\ \sf 4& \sf - 2& \sf2 \\ \sf 1& \sf - 2& \sf0\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}\sf \sf \vec{i}& \sf \vec{j} \\ \sf 4& \sf - 2 \\ \sf 1& \sf - 2\end{bmatrix} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\\sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u}) = \sf \vec{i}.( - 2).0 + \vec{j}.2.1 + \vec{k}.4. ( - 2) -( 1.( -2) . \vec{k} + ( - 2).2. \vec{i} + 0.4. \vec{j}) \\ \\\sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u}) = \sf 0 + 2 \vec{j} - 8 \vec{k} - ( - 2 \vec{k} - 4 \vec{i} + 0) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u}) = \sf 2 \vec{j} - 8 \vec{k} + 2 \vec{k} + 4 \vec{i} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u}) = \boxed{\sf 4 \vec{i} + 2 \vec{j} - 6 \vec{k}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar, basta calcular a norma desses vetor resultante, ou seja, calcular o módulo:

$\sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u}) =\sf \underbrace{ 4}_{a} \vec{i} + \underbrace { 2}_{b}\vec{j} - \underbrace{6 }_{c} \vec{k}\\ \\ \sf| |2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u})| | = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} + c {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf| |2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u})| | = \sqrt{4 {}^{2} + 2 {}^{2} + ( - 6) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf| |2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u})| | = \sqrt{16 + 4 + 36} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf| |2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u})| | = \sqrt{56} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf| |2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u})| | = \sqrt{4.14} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf| |2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} - \vec{u})| | = 2 \sqrt{14} \: u.a}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado