Sabendo que o perímetro de um triângulo equilátero ABC é a metade do perímetro do quadrado ABCD termine a medida da altura do triângulo.
Respostas
Resposta:
O perímetro do triângulo é a soma de seus três lados:
P_{tri} = \ell + \ell + \ell = 3 \cdot \ellP
tri
=ℓ+ℓ+ℓ=3⋅ℓ
Para calcular \ellℓ cortamos o triângulo no meio e aplicamos o teorema de Pitágoras:
\begin{gathered}\ell^2 = (\frac{\ell}{2})^2 + (5\sqrt{3})^2 \\ \ell^2 = \frac{\ell^2}{4} + 5^2 \cdot 3 \\ \ell^2 - \frac{\ell^2}{4} = 25 \cdot 3 \\ \frac{3 \ell^2}{4} = 75 \\ \ell^2 = \frac{75 \cdot 4}{3} \\ \ell^2 = 100 \\ \ell = \sqrt[2]{100} \\ \ell = 10\end{gathered}
ℓ
2
=(
2
ℓ
)
2
+(5
3
)
2
ℓ
2
=
4
ℓ
2
+5
2
⋅3
ℓ
2
−
4
ℓ
2
=25⋅3
4
3ℓ
2
=75
ℓ
2
=
3
75⋅4
ℓ
2
=100
ℓ=
2
100
ℓ=10
Então o perímetro do triângulo vale 30, já que cada lado mede 10.
O perímetro do quadrado mede 1/3 disso, ou seja, o perímetro do quadrado é 10:
\begin{gathered}P_{quad} = x + x + x + x = 10 \\ 4x = 10 \\ x= \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5\end{gathered}
P
quad
=x+x+x+x=10
4x=10
x=
4
10
=
2
5
=2,5
Sabendo que o lado do quadrado mede 2,5, a diagonal mede:
\begin{gathered}d^2 = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 \\ d^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{50}{4}\\ d = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt[2]{\frac{2 \cdot 25}{4}} = \frac{\sqrt[2]{25} \cdot \sqrt[2]{2}}{\sqrt[2]{4}} = \frac{5 \cdot \sqrt[2]{2}}{2}\end{gathered}
d
2
=(
2
5
)
2
+(
2
5
)
2
d
2
=
4
25
+
4
25
=
4
50
d=
4
50
=
2
4
2⋅25
=
2
4
2
25
⋅
2
2
=
2
5⋅
2
2
\boxed{d = 2,5 \cdot \sqrt[2]{2} \approx 3,5355}
d=2,5⋅
2
2
≈3,5355