• Matéria: Matemática
  • Autor: cnt0101
  • Perguntado 5 anos atrás

Essa questão de matemática alguém poderia me ajudar?

Anexos:

Respostas

respondido por: Nefertitii
5

  \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf Resposta: \sf  \frac{1}{3} .  ln \left( \left | \frac{x - 1}{x + 2}  \right| \right )   + C}}}

Temos a seguinte integral indefinida:

 \sf \int  \frac{1}{x {}^{2} + x - 2 }dx\\

Primeiro vamos fatorar essa expressão do denominador através do método que você preferir, mas no meu caso usarei o agrupamento;

 \sf  x {}^{2}  + 2x - x - 2\Longleftrightarrow x{}^{2}  - x + 2x - 2\Longleftrightarrow  \\  \\ \Longleftrightarrow  \sf x(x - 1) + 2.(x - 1)\Longleftrightarrow (x + 2).(x - 1) \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Então temos que a expressão resultante é:

 \sf \int  \frac{1}{(x  + 2).(x - 1)}dx \\

Para resolver essa integral, usaremos o método das frações parciais, vamos começar dizendo que:

 \sf  \frac{1}{(x + 2).(x - 1)}  =  \frac{A }{( x + 2)}  +  \frac{ B}{( x - 1)}  \\  \\  \sf  \frac{1}{ \cancel{(x + 2).(x - 1)}}  =  \frac{Ax -  A  +   Bx + 2 B}{ \cancel{(x + 2).(x - 1)}}  \\  \\  \sf  1 = A x - A  + Bx + 2 B \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf x(A +  B) + 2 B - A  = 1 + 0x \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf  \begin{cases} \sf A  + B = 0 \\ \sf 2B - A  = 1\end{cases} \longrightarrow A  =  -  \frac{1}{3}  \:  \: e \:  \: B =   \frac{1}{3}

Reescrevendo a integral com essas novas expressões, teremos que:

  \sf \int  \frac{1}{(x - 1).(x + 2) } dx =  \int \frac{ \frac{1}{3} }{(x - 1)}  +  \frac{ - \frac{1 }{3} }{( x + 2)}dx  \\

Podemos abrir essa única integral em duas através da seguinte propriedade:

 \sf  \int [f(x) \pm g(x)] dx =  \int f(x)dx  \pm \int g(x)dx \\

Aplicando a propriedade:

 \sf \int  \frac{ \frac{1}{3} }{( x- 1)} dx  -  \int  \frac{ \frac{1}{3} }{(x + 2)} dx \\

Podemos retirar esses números constantes de dentro da integral, através de outra propriedade:

 \sf \int k.f(x)dx = k  \int f(x)dx \\

Aplicando a propriedade:

  \sf\frac{1}{3}  \int  \frac{1}{(x - 1)} dx -   \frac{1}{3}  \int  \frac{1}{(x + 2)} dx \\

Essas integrais já possuem os seus resultados conhecidos, dados por:

 \sf \int  \frac{1}{u} du\Longleftrightarrow  ln( |u| )  + C \\

Encontrando os resultados:

 \sf  \frac{1}{3}  ln( |x - 1| )  -  \frac{1}{3}  ln( |x + 2| ) +  C  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \\  \\  \sf  \frac{1}{3} . [ln( | x - 1 | )  -  ln( \mid x - 2 \mid) ]  + C \:  \:  \:   \:

Lembrando da seguinte propriedade logarítmica:

 \sf  ln(a)  -  ln(b)  =  ln \left(  \frac{a}{b} \right )  \\

Aplicando:

 \sf  \frac{1}{3} .  ln \left( \left | \frac{x - 1}{x + 2}  \right| \right )   + C \\

Espero ter ajudado

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