Question

Essa questão de matemática alguém poderia me ajudar?

Answer 1

$\boxed{ \boxed{ \boxed{\sf Resposta: \sf \frac{1}{3} . ln \left( \left | \frac{x - 1}{x + 2} \right| \right ) + C}}}$

Temos a seguinte integral indefinida:

$\sf \int \frac{1}{x {}^{2} + x - 2 }dx$

Primeiro vamos fatorar essa expressão do denominador através do método que você preferir, mas no meu caso usarei o agrupamento;

$\sf x {}^{2} + 2x - x - 2\Longleftrightarrow x{}^{2} - x + 2x - 2\Longleftrightarrow \\ \\ \Longleftrightarrow \sf x(x - 1) + 2.(x - 1)\Longleftrightarrow (x + 2).(x - 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Então temos que a expressão resultante é:

$\sf \int \frac{1}{(x + 2).(x - 1)}dx$

Para resolver essa integral, usaremos o método das frações parciais, vamos começar dizendo que:

$\sf \frac{1}{(x + 2).(x - 1)} = \frac{A }{( x + 2)} + \frac{ B}{( x - 1)} \\ \\ \sf \frac{1}{ \cancel{(x + 2).(x - 1)}} = \frac{Ax - A + Bx + 2 B}{ \cancel{(x + 2).(x - 1)}} \\ \\ \sf 1 = A x - A + Bx + 2 B \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf x(A + B) + 2 B - A = 1 + 0x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \begin{cases} \sf A + B = 0 \\ \sf 2B - A = 1\end{cases} \longrightarrow A = - \frac{1}{3} \: \: e \: \: B = \frac{1}{3}$

Reescrevendo a integral com essas novas expressões, teremos que:

$\sf \int \frac{1}{(x - 1).(x + 2) } dx = \int \frac{ \frac{1}{3} }{(x - 1)} + \frac{ - \frac{1 }{3} }{( x + 2)}dx$

Podemos abrir essa única integral em duas através da seguinte propriedade:

$\sf \int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Aplicando a propriedade:

$\sf \int \frac{ \frac{1}{3} }{( x- 1)} dx - \int \frac{ \frac{1}{3} }{(x + 2)} dx$

Podemos retirar esses números constantes de dentro da integral, através de outra propriedade:

$\sf \int k.f(x)dx = k \int f(x)dx$

Aplicando a propriedade:

$\sf\frac{1}{3} \int \frac{1}{(x - 1)} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{(x + 2)} dx$

Essas integrais já possuem os seus resultados conhecidos, dados por:

$\sf \int \frac{1}{u} du\Longleftrightarrow ln( |u| ) + C$

Encontrando os resultados:

$\sf \frac{1}{3} ln( |x - 1| ) - \frac{1}{3} ln( |x + 2| ) + C \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{3} . [ln( | x - 1 | ) - ln( \mid x - 2 \mid) ] + C \: \: \: \:$

Lembrando da seguinte propriedade logarítmica:

$\sf ln(a) - ln(b) = ln \left( \frac{a}{b} \right )$

Aplicando:

$\sf \frac{1}{3} . ln \left( \left | \frac{x - 1}{x + 2} \right| \right ) + C$

Espero ter ajudado