Question

1) Calcule a área da região limitada pela função sen(x) e o eixo x entre os intervalos
π/3 e 2π/3. Esboce o gráfico da função e identifique área a ser calculada.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{1~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas.

Sejam duas funções $f(x)$  e $g(x)$, em que buscamos a área delimitada entre elas.

Definido quais serão os limites de integração, devemos analisar o comportamento das funções neste intervalo.

A área entre duas curvas, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$ é dada pela integral dupla: $\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx$, cuja ordem de integração está de acordo com o Teorema de Fubini, para integrais iteradas, tal que em todo o intervalo, $f(x)\geq g(x)$.

Neste caso, buscamos a área da região limitada pela função $\sin(x)$ e o eixo $x$ (eixo das abcissas) nos intervalos $\dfrac{\pi}{3}$ e $\dfrac{2\pi}{3}$.

A função que representa o eixo $x$ é $g(x)=0x$, ou $g(x)=0$. Assim, ao analisarmos o comportamento das funções no intervalo dado, vemos que $\sin(x)\geq 0$, logo a área será calculada pela integral dupla:

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\int_0^{\sin(x)}\,dy\,dx$

Sabendo que $\displaystyle{\int_a^b\,dx=b-a$, temos

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\sin(x)\,dx$

Então, sabendo que $\displaystyle{\int\sin(x)\,dx=-\cos(x)$ e $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, temos

$-\cos(x)~\biggr|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}$

Aplique os limites de integração

$-\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)-\left(-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$

Efetue a propriedade de sinais

$-\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Sabendo que $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ e $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$, temos

$-\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}$

Efetue a propriedade de sinais e some os valores

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\\\\\\ 1~u.~a$

Esta é a área da região limitada que buscávamos.

Veja a imagem em anexo: o gráfico da função foi esboçado em azul e a área a ser calculada foi identificada em laranja.