Question

Verifique se a equação (5x+ 4y) dx + ( 4x - 8y3 ) dy = 0 é uma equação exata.

Answer 1

Olá, boa noite.

Seja a equação $(5x+4y)\,dx+(4x-8y^3)\,dy=0$. Devemos verificar se esta é uma equação exata.

Para isso, lembre-se que dada uma equação da forma $M\,dx+N\,dy=0$, tal que $M$ e $N$ são funções da forma $f(x,~y)$, esta é exata se, e somente se $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$.

Então, seja $M=5x+4y$ e $N=4x-8y^3$.

Assim, devemos conferir se:

$\dfrac{\partial}{\partial y}(5x+4y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(4x-8y^3)$

Devemos calcular estas derivadas parciais: lembre-se que a derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis em relação a uma variável é calculada considerando o restante das variáveis como constantes.

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma potência é dada por: $\dfrac{\partial}{\partial x}(a\cdot f(x))=a\cdot \dfrac{\partial f(x)}{\partial x}$.
• A derivada de uma potência é dada por: $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial}{\partial y}(5x)+\dfrac{\partial}{\partial y}(4y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(4x)-\dfrac{\partial}{\partial y}(8y^3)$

Aplique a regra da constante

$0+4\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y)=4\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)-0$

Calcule as derivadas das potências

$4=4$

Visto que o lado esquerdo é igual ao lado direto da igualdade, afirmamos que esta é uma equação exata.