Question

1) Derivada implicita $\frac{dy}{dx}?$
$\large\boxed{ \boxed{ \sf y = x {}^{x {}^{x} } }} \\ \\ \sf a) \frac{dy}{dx} = x { }^{x {}^{x} } [x {}^{x} ( lnx + 1) lnx + x {}^{x - 1} ] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf b) \frac{dy}{dx} = x {}^{x {}^{x} } [x {}^{x} ( ln x + 1) ln(x + 2) + x {}^{x - 1} ] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\ \\ \sf c) \frac{dy}{dx} = x {}^{x {}^{x} } [x {}^{x} ( lnx + 10) lnx + x {}^{x - 1} ] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf d) \frac{dy}{dx} = x {}^{x {}^{x} } [x {}^{x}. (ln( x + 2) ) + 1). lnx + 2 +x^{x-1}$
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{a)~\dfrac{dy}{dx}=x^{x^x}\cdot\left(x^x\cdot(\ln x+1)\cdot\ln x}+x^{x-1})}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função $y=x^{x^x}$.

Calculamos sua derivada em relação à variável $x$:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(x^{x^x}})$

Para isso, reescrevemos $\Large\boxed{{x^{x^x}\Leftrightarrow e^{{e^{x \ln x}\cdot\ln x}}}}$, de acordo com as propriedades de logaritmos.

Então, calculamos esta derivada utilizando a regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$, sabendo que a derivada da função exponencial é a própria função exponencial.

$\dfrac{dy}{dx}=(e^{x\ln x}\cdot \ln x})'\cdot e^{e^{x\ln x}\cdot \ln x}}$

Aplique a regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$.

$\dfrac{dy}{dx}=((e^{x\ln x})'\cdot \ln x}+(\ln x)'\cdot e^{x\ln x})\cdot e^{e^{x\ln x}\cdot \ln x}}$

Aplique novamente a regra da cadeia e calcule a derivada do logaritmo natural

$\dfrac{dy}{dx}=\left((x\ln x})'\cdot e^{x\ln x}\cdot \ln x}+\dfrac{1}{x}\cdot e^{x\ln x}\right)\cdot e^{e^{x\ln x}\cdot \ln x}}$

Aplique novamente a regra do produto

$\dfrac{dy}{dx}=\left(((x)'\ln x}+x\cdot (\ln x)')\cdot e^{x\ln x}\cdot \ln x}+\dfrac{1}{x}\cdot e^{x\ln x}\right)\cdot e^{e^{x\ln x}\cdot \ln x}}$

Calcule a derivada da potência e do logaritmo natural

$\dfrac{dy}{dx}=\left(\left(\ln x+x\cdot \dfrac{1}{x}\right)\cdot e^{x\ln x}\cdot \ln x}+\dfrac{1}{x}\cdot e^{x\ln x}\right)\cdot e^{e^{x\ln x}\cdot \ln x}}$

Então, reescreva novamente as potências como tínhamos anteriormente

$\dfrac{dy}{dx}=\left(\left(\ln x+x\cdot \dfrac{1}{x}\right)\cdot x^x\cdot \ln x}+\dfrac{1}{x}\cdot x^x\right)\cdot x^{x^x}$

Multiplique os valores, aplicando a propriedade da divisão de potências de mesma base

$\dfrac{dy}{dx}=x^{x^x}\cdot\left(x^x\cdot(\ln x+1)\cdot\ln x}+x^{x-1})$

Esta é a derivada desta função e é a resposta contida na letra a).