Question

Considere o polinômio p(x) = $\left[\begin{array}{ccc}3&x&-x\\3&x&-4\\x&3&-3\end{array}\right]$. Calcule as raízes de p(x). Justifique sua resposta, deixando claro se utilizou propriedades de determinantes ou algum método para obter as raízes do polinômio.

Answer 1

Aplicando-se a Regra de Sarrus:

P(x) = -9x - 4x² - 9x + x³ + 9x + 36
P(x) = x³ - 4x² - 9x + 36

Considerando o teorema que diz: se um polinômio de coeficientes reais tem raízes reais, então estas raízes são do tipo: p/q onde p é um divisor do coeficiente independente e q é o coeficiente do termo de maior grau.

Neste caso p = 36 e q = 1

Logo as possíveis raízes do polinômio são:

$\pm 1, \pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm9,\pm12,\pm18,\pm32$

Observe que 3 é uma raiz do polinômio.

Assim, dividindo-se P(x) por (x-3) obtemos:

3         1      -4    -9     36    
           1      -1   -12    0


Logo as outras duas raízes vem de:

x² - x - 12 = 0  que são:   -3 e 4

Assim as raízes de P(x) são -3, 3, e 4