Question

Calcule z⁴ dos seguintes complexos:

a) $z \: = 1 \: . \: \sqrt{3i}$

b) $2 + 2i$

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Answer 1

Resposta:

Representando esse quociente como fração, temos z1 como numerador e z2 como denominador. Para determinar o quociente, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado deste. Temos então:

z1 = 2 – 3i

z2 – 1 + 2i

z1 = (2 – 3i ) . (– 1 – 2i)

z2 (– 1 + 2i) . (– 1 – 2i)

z1 = – 2 + 3i – 4i + 6.i²

z2 (– 1)² – (2i)²

z1 = – 2 + 3i – 4i – 6

z2 1 – (– 4)

z1 = – 8 – i

z2 5

Portanto, o quociente entre os complexos z1 e z2 é - 8 - i.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Na potência de números complexos temos que encontrar o módulo e argumento de z e utilizar a fórmula $z^n = (|z|)^n \cdot (cos(n\theta) + i \cdot sen(n\theta))$.

b) Cálculo do módulo de z.

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\|z|=\sqrt{2^2+2^2}\\|z|=\sqrt{4+4}\\|z|=\sqrt{8}\\\boxed{|z|=2\sqrt{2}}$

Cálculo do argumento de z.

$sen(\theta)=\dfrac{b}{|z|}\\\\sen(\theta)=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\\\\sen(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\sen(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\boxed{sen(\theta)=45\º}$

$cos(\theta)=\dfrac{a}{|z|}\\\\cos(\theta)=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\\\\cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\boxed{cos(\theta)=45\º}$

Cálculo da potência do número complexo.

$z^n = (|z|)^n \cdot (cos(n\theta) + i \cdot sen(n\theta))\\z^4 = (2\sqrt{2})^4 \cdot (cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \cdot sen(4\cdot \frac{\pi}{4}))\\\boxed{z^4 = 64 \cdot (cos(\pi) + i \cdot sen(\pi))}$