Question

Olá gente, vocês poderiam me ajudar com essa questão (vocês precisam tocar na foto para abrir a imagem inteira)​

Answer 1

Oii!

Quando tentamos calcular um limite, mas ele se apresenta de forma indeterminada (numerador sobre zero), tentamos fazer transformações, que podem ir desde algébricas até trigonométricas, de maneira que possamos encontrar um resultado não indeterminado.

Porém, se após as transformações ainda não encontrarmos um resultado satisfatório, dizemos que o limite não existe.

Em todos os casos da questão, teremos de fatorar (numerador e/ou denominador) a fim de encontrar uma expressão com limite existente.

a) $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-5x+6 }{x-2}$

Se fôssemos substituir x por 2, encontraríamos uma fração indeterminada (0/0). Logo, vamos fatorar a expressão de cima.

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3) }{x-2}$

Verifique que podemos simplificar (x-2) do numerador com (x-2) do denominador.

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-3) }{1}$

Agora, sim, podemos substituir x por 2 e encontrar esse limite:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-3) }{1} = \frac{2-3}{1} = \frac{-1}{1}$ = -1

Portanto, $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-5x+6 }{x-2}$ = -1

b) $\lim_{h \to 0} \frac{(-5 + h)^{2} -25}{h}$

Novamente, ao substituir h por 0, encontramos uma fração indefinida. Então, vamos direto para as transformações. Podemos evoluir aquele quadrado da soma, e cortar 25 com -25.

$\lim_{h \to 0} \frac{25-10h+h^{2} -25}{h} = \frac{-10h+h^{2} }{h}$

Ainda podemos colocar o h em evidência:

$\lim_{h \to 0} \frac{h(-10+h)}{h}$

Simplificando h do numerador com h do denominador, teremos:

$\lim_{h \to 0} \frac{-10+h}{1}$

Pronto! Só falta, finalmente, calcularmos esse limite:

$\lim_{h \to 0} \frac{-10+h}{1} = \frac{-10+0}{1}$ = -10

Portanto, $\lim_{h \to 0} \frac{(-5 + h)^{2} -25}{h}$ = -10

c) $\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^{3} -27}$

Partindo para as transformações, dessa vez, apenas no denominador, vamos ter:

$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x^{2}+3x+9) }$

Podemos simplificar o (x-3) do numerador com o (x-3) do denominador:

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x^{2}+3x+9}$

E, finalmente, calcular o limite:

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x^{2} +3x+9} = \frac{1}{9+9+9}$ = 1/27

Portanto, $\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^{3} -27}$ = 1/27

d) $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^{3} -8}{h}$

Iremos evoluir o cubo da soma do denominador, e cortar 8 com -8.

$\lim_{h \to 0} \frac{8+6h^{2} +12h+h^{3} -8}{h} = \frac{12h+h^{3}+6h^{2} }{h}$

Colocando h em evidência e simplificando h do numerador com h do denominador, ficamos com:

$\lim_{h \to 0} \frac{h(12+h^{2}+6h) }{h} = \frac{12+h^{2}+6h }{1}$

Podemos, então, calcular o limite:

$\lim_{h \to 0} \frac{12+h^{2} +6h}{1} = \frac{12+0+0}{1}$ = 12

Portanto, $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^{3} -8}{h}$ = 12

e) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{4}-1 }{x^{3}-1 }$

Dessa vez, teremos de fatorar tanto o numerador, quanto o denominador. Para isso, lembresse das regras de fatoração da diferença entre dois números à quarta potência, e diferença de dois cubos.

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)(x^{2}+1) }{(x-1)(x^{2} +x+1)}$

Depois, simplificamos (x-1) do numerador com (x-1) do denominador.

$\lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x^{2}+1) }{x^{2} +x+1}$

Apenas para facilitar o cálculo do limite, vamos expandir a expressão de cima:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} +x^{2} +x+1 }{x^{2} +x+1}$

Por último, encontramos o limite:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} +x^{2} +x+1 }{x^{2} +x+1} = \frac{1+1+1+1}{1+1+1}$ = 4/3

Portanto, $\lim_{x \to 1} \frac{x^{4}-1 }{x^{3}-1 }$ = 4/3

Espero ter ajudado! ;)