Question

Na figura, o segmento AB é tangente, em A e B, às circunferências de centro O e O’. Sabendo que AB = 12 cm, AO = 6 cm e BO = 3 cm, Descubra a distância entre O e O'

Answer 1

Seja C o ponto de intersecção de AB e OO'. Use a figura abaixo e observe que:

• O triângulo BO'C é semelhante ao triângulo AOC, pois em C os ângulos são congruentes por serem opostos pelo vértice e os ângulos nos vértices A e B são retos, pois um cateto é tangente e o outro é raio.

Considere:

• x: Cateto CB
• y: hipotenusa CO'
• d: distância desejada OO'

Por semelhança de triângulos (razão entre catetos):

$\large \dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{12-x}$

6x = 3⋅(12 − x)

6x = 36 − 3x

9x = 36

x = 4 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo BO'C.

y² = x² + 3²

y² = 4² + 3²

y = 5 cm

AC = 12 − x

AC = 12 − 4

AC = 8 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AOC.

(OC)² = 6² + AC²

(OC)² = 6² + 8²

OC = 10 cm

d = OC + y

d = 10 + 5

d = 15 cm

A distância OO' é 15 cm.