Question

Enunciado:


QUESTÃO 01

Ângulo de lançamento

O máximo alcance adquirido por um corpo, em função de sua velocidade inicial e da aceleração da gravidade, é determinado quando o valor atribuído a sen2θ é o maior possível. O máximo valor de seno é 1 e corresponde ao ângulo de 90°. Sendo assim, quando o ângulo de lançamento é 45°, o valor do seno contabilizado é o seno de 90° (sen2.45º = sen90º = 1), e o alcance é o máximo possível.







A figura acima indica os alcances horizontais referentes a distintos ângulos iniciais de lançamento. Nas modalidades esportivas de salto em distância, lançamento de peso, lançamento de martelo e lançamento de dardo, o objetivo do atleta é alcançar a maior distância horizontal possível. Os atletas treinam para que o ângulo de lançamento dos objetos seja o mais próximo possível de 45° para que, assim, o alcance do objeto arremessado seja o máximo possível.

Fonte: JÚNIOR, J. S. S. “Lançamento Oblíquo”. In: Mundo Educação Uol. Disponível em: . Acesso em: jul. 2020. Adaptado.



Um engenheiro fez o levantamento de uma região demarcando os pontos fundamentais A (1, -5, 9), B (-3, 4, 8) e C ( 7, 1, 6), com o propósito de determinar as coordenadas dos vetores, os módulos respectivos e o valor do cosseno do ângulo determinado pelos dois vetores, com o objetivo de estudar o desempenho de um determinado corpo que se desloca do ponto B ao A e depois do B ao C.

Colaborando com esse engenheiro, desenvolva cada item a seguir:

a) Apresente as coordenadas dos vetores indicados e o módulo de cada vetor indicado.

b) Calcule o valor do cos β, sendo β a medida do ângulo determinado pelos dois vetores.



QUESTÃO 02


A Geometria Euclidiana consiste num sistema de axiomas “bastante” naturais. O mais importante destes axiomas é o postulado das paralelas: Dada uma reta L e um ponto fora desta reta, existe uma única reta R passando por este ponto e que não intersecta a reta L.

Fonte: IME USP. Disponível em: . Acesso em: jul. 2020. Adaptado.


Quando estudamos a reta, seja no R² ou no R³, é fundamental conhecermos um dos axiomas da Geometria Euclidiana que afirma: dois pontos distintos determinam uma única reta. Com base neste conteúdo responda:

a) Demostre passo a passo como encontrar e escreva a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A = (5, -4, 2) e B = (3, 1, 6).

b) Demonstre passo a passo como encontrar e escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A = (5, -4, 2) e B = (3, 1, 6).

Answer 1

Resposta:

a)   u= BA e v=BC

A(1,-5,9), B(-3,4,8) e C(7,1,6)

u= A-B

u= (1, -5, 9) – (-3, 4, 8)

u= (1, -5, 9) + (3, -4, -8)

u= 1 + 3, -5 + (-4), 9 + (-8)

u= (4,-9, 1)

Coordenadas do vetor v:

v= C-B

v= (7, 1, 6) – (-3, 4, 8)

v= (7, 1, 6) + (3, -4, -8)

v= 7 + 3, 1 + (-4), 6 + (-8)

v= (10, -3, -2)

Módulo do vetor u:

|u|= √4²+9²+1²

|u|= √16+81+1

|u|= √98

|u|= 9,89

Módulo do vetor v:

|v| = √10²+3²+2²

|v|= √100+9+4

|v|= V113

|v|= 10,63

Questão 2:

a)      A = (5, -4, 2) e B = (3, 1, 6)

v= AB

v= B-A

v= (3, 1, 6) – (5, -4, 2)

v= (3, 1, 6) + (-5, 4, -2)

v= 3 + (-5), 1 + 4, 6 + (-2)

v= (-2, 5, 4)

 

Equação vetorial é:

r : X = A + v

r : (x, y, z) = (5, -4, 2) + (-2, 5, 4),      com  E R.

b)        A = (5, -4, 2) e B = (3, 1, 6)

v=AB

v= B – A

v= (3, 1, 6) – (5, -4, 2)

v= (3, 1, 6) + (-5, 4, -2)

v= 3 + (-5), 1 + 4, 6 + (-2)

v= (-2, 5, 4)

Equações paramétricas:  

     x= 5 - 2

r :  y= -4 + 5       ( E R)

     z= 2 + 4