Question

calcule o limite
lim->1 (x^3-2x^2-x+2) / (x^3-7x+6 )

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\dfrac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^3 - 7x + 6}$

Fazendo a substituição:

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\dfrac{1^3 - 2 \cdot 1^2 - 1 + 2}{1^3 - 7 \cdot 1 + 6}$

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\dfrac{1 - 2 \cdot 1 - 1 + 2}{1 - 7 + 6}$

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\dfrac{1 - 2 - 1 + 2}{0}$

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\dfrac{0}{0}$

O valor é indeterminado

Através da regra de L'Hospital, fazer a derivada dos termos. Sendo $\sf D(kx^n) = n \cdot kx^{n-1}$, obtemos:

$\sf \dfrac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^3 - 7x + 6}$

$\sf \dfrac{3 \cdot 1x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2 - 1} - 1 \cdot 1x^{1 - 1} + 0}{3 \cdot 1x^{3 - 1} - 1 \cdot 7x^{1 - 1} + 0}$

$\sf \dfrac{3x^2 - 4x - 1}{3x^2 - 7}$

Agora fazendo a substituição

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\dfrac{3x^2 - 4x - 1}{3x^2 - 7}$

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\sf \dfrac{3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 - 1}{3 \cdot 1^2 - 7}$

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\sf \dfrac{3 \cdot 1 - 4 - 1}{3 \cdot 1 - 7}$

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\sf \dfrac{3 - 4 - 1}{3 - 7}$

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\sf \dfrac{- 2}{- 4}$

Regra de sinais (- com - = +) e simplificando por 2, obemos:

$\sf \underset{x \Rightarrow 1}{lim}~~\sf \boxed{= \dfrac{1}{2}}$