Question

Calcule as seguintes integrais pelo método de frações parciais

Se puder responder a A

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos estas integrais pelo método de frações parciais, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

a)  $\displaystyle{\int \dfrac{2x^3-4x^2-x-3}{x^2-2x-3}\,dx$

Utilizamos o método de completar quadrados: fatore $2x$ nos dois primeiros termos do numerador

$\displaystyle{\int \dfrac{2x(x^2-2x)-x-3}{(x+1)(x-3)}\,dx$

Some e subtraia $6x$, assim teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{2x(x^2-2x)-6x+6x-x-3}{(x+1)(x-3)}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int \dfrac{2x(x^2-2x-3)+5x-3}{(x+1)(x-3)}\,dx}$

Separe a fração como uma soma de frações

$\displaystyle{\int \dfrac{2x(x^2-2x-3)}{x^2-2x-3}+\dfrac{5x-3}{x^2-2x-3}\,dx}$

Simplifique a primeira fração

$\displaystyle{\int2x+\dfrac{5x-3}{x^2-2x-3}\,dx}$

Reescreva o denominador como um produto, de acordo com o Teorema da decomposição

$\displaystyle{\int2x+\dfrac{5x-3}{(x+1)(x-3)}\,dx}$

Então, utilizamos o método de frações parciais: separe a fração como uma soma de frações

$\displaystyle{\int2x+\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-3}\,dx}$

Iguale as frações

$\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-3}=\dfrac{5x-3}{(x+1)(x-3)}$

Multiplique ambos os lados da equação por $(x+1)(x-3)$

$A(x-3)+B(x+1)=5x-3$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$Ax-3A+Bx+B=5x-3$

Some os termos semelhantes

$(A+B)x+B-3A=5x-3$

Então, temos o seguinte sistema de equações:

$\begin{cases}A+B=5\\B-3A=-3\\\end{cases}$

Resolvendo o sistema, encontramos $A=2$ e $B=3$.

Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int 2x+\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-3}\,dx$

Utilizando as propriedades já conhecidas, teremos:

$x^2+2\ln|x+1|+3\ln|x-3|+C,~C\in\mathbb{R}$.

b)  $\displaystyle{\int_{-1}^0\dfrac{x^3}{x^2-2x+1}\,dx$

Subtraia e some $1$ no numerador

$\displaystyle{\int_{-1}^0\dfrac{x^3-1+1}{x^2-2x+1}\,dx$

Separe a fração como uma soma da seguinte maneira

$\displaystyle{\int_{-1}^0\dfrac{x^3-1}{x^2-2x+1}+\dfrac{1}{x^2-2x+1}\,dx$

Aplique a propriedade da diferença de dois cubos

$\displaystyle{\int_{-1}^0\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2-2x+1}+\dfrac{1}{x^2-2x+1}\,dx$

Sabendo que $x^2-2x+1=(x-1)^2$, temos

$\displaystyle{\int_{-1}^0\dfrac{x^2+x+1}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Na primeira fração, some e subtraia $3x$, de modo que tenhamos

$\displaystyle{\int_{-1}^0\dfrac{x^2-2x+1+3x}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Então, reescrevemos a fração como uma soma

$\displaystyle{\int_{-1}^0\dfrac{x^2-2x+1}{x-1}+\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Simplifique a primeira fração

$\displaystyle{\int_{-1}^0x-1+\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Subtraia e some $3$ na primeira fração, de modo que

$\displaystyle{\int_{-1}^0x-1+\dfrac{3x-3+3}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Reescreva a fração como uma soma

$\displaystyle{\int_{-1}^0x-1+\dfrac{3x-3}{x-1}+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Simplifique a fração e some os valores

$\displaystyle{\int_{-1}^0x-1+3+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx}\\\\\\\displaystyle{\int_{-1}^0x+2+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

Calcule a integral

$\dfrac{x^2}{2}+2x+3\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}~\biggr|_{-1}^0$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{0^2}{2}+2\cdot0+3\ln|0-1|-\dfrac{1}{0-1}-\left(\dfrac{(-1)^2}{2}+2\cdot(-1)+3\ln|-1-1|-\dfrac{1}{-1-1}\right)$

Calcule as potências e some os valores

$3\ln(1)+1-\left(\dfrac{1}{2}-2+3\ln(2)+\dfrac{1}{2}\right)\\\\\\ 2-3\ln(2)$

Este é o resultado desta integral.