Question

Se g o f é injetora, então f é injetora. Como mostrar que, nem sempre, g também é injetora?

Answer 1

O que acontece é que g tem que ser injetora apenas na imagem de f. Por exemplo, consideramos as funções f,g : R → R

f(x) = eˣ

g(x) = x²

Então a composta h = g o f é uma função de R em R dada por

$h(x) = (e^x)^2 = e^{2x}$

Ou seja, h é uma função injetora mesmo g não sendo.

Observe que se trocarmos g por uma outra função, como por exemplo

$\tilde g(x) = \begin{cases} x^2, \quad \textrm{ se } x > 0 \\ 0, \quad \textrm{ se } x \leq 0 \end{cases}$

Então a função composta $\tilde h = \tilde g \circ f$ é exatamente a mesma que obtemos na oura situação. Ou seja, $\tilde h = h$. Isso acontece porque a função g e a função $\tilde g$ são iguais no conjunto (0, ∞) que é a imagem da função f.

Mais geralmente consideramos f: A → B e g: B → C. Então a composta é uma função g o f = h: A → C. Para a composta h ser injetora, o que precisamos é que dados dois elementos diferentes de A, digamos x e y, suas imagens h(x) e h(y) sejam diferentes também. Intuitivamente isso quer dizer que, olhando a figura em anexo, ao sairmos de elementos distintos de A, percorrermos o caminho indicado pelas setas devemos chegar em elementos distintos de C. Para isso acontecer, não importa qual é o valor de g para o ponto em vermelho, ele não influencia na composta.

Isso acima seria a intuição do problema. A prova formal seria o seguinte. Suponha que h = g o f é injetora. Então f é injetora, pois caso contrário existiriam dois elementos diferentes de A, digamos x e y, tais que f(x) = f(y). Mas isso implica que

f(x) = f(y) ⇒ g(f(x)) = g(f(y)) ⇒ h(x) = h(y)

Ou seja, uma contradição. Assim f é injetora.

Da mesma forma g deve ser injetora na imagem de f. (Ser injetora na imagem de f quer dizer que se pegarmos dois elementos diferentes z,w em Im(f) então devemos ter g(z)≠g(w) ).

De fato, caso g não fosse injetora em Im(f), existiriam z≠w com g(z)=g(w). Mas como z e w estão na imagem de f, temos que z = f(x) e w = f(y) para algum x e y em A. E alem disso, como z≠w temos f(x)≠f(y) e isso implica x≠y pois f é injetora também. Logo teríamos

g(z) = g(w) ⇒g(f(x)) =  g(f(y)) ⇒ h(x) = h(y)

Assim, teríamos uma contradição. Portanto concluímos que g deve ser injetora na imagem de f.