Question

Gente como se chega nesse resultado? Gabarito E

Answer 1

Perceba que c é o cateto adjacente do triângulo retângulo; 16 é a hipotenusa. Então:
Cos 15º = c / 16          logo          c = 16 . cos 15º

Para calcular o cos 15º usamos:

 cos (a - b) = cos a . cos b + sen 45º . sen 30º
sendo a = 45º e b = 30º como a gente TÊM que saber esses cossenos é só calcular:

cos 15º = √2/2 . √3/2 + √2/2 . 1/2
cos 15º = √6/4 + √2/4 ou √6 + √2
                                         4
c = 16 . cos 15º

c = 16.(√6 + √2)
               4

c = 4.(√6 + √2)

Para chegar na alternativa do gabarito, elevamos ao quadrado os dois membros:

c² = [4.(√6 + √2)]²
c² = 16.(√6 + √2)²   

Resolvendo o produto notável:
(√6 + √2)² =
= 6 + 2.√6.√2 + 2
= 8 + 2.√6.8√2            Sabemos que √6 = √3 . √2, então
=8 + 2.√3.√2.√2
=8 + 2.√3.2
=8 + 4√3

Retomando:
c² = 16.(√6 + √2)²
c² = 16.(8 + 4√3)  podemos reescrever mantendo a proporção:
c² = 64.(2 + √3)
c = √64.(2+√3)
c = 8√(2+√3)
 
É isso.