Question

Um triângulo equilátero possui a mesma área de um hexágono regular de lado
4 cm. Calcule a razão entre o apótema do hexágono e o apótema do triângulo.​

Answer 1

Questão de Geometria Plana que envolve Área de Polígonos.

• Cálculos e Revisão :

• O apótema de um polígono é um segmento que parte do centro da circunferência circunscrita e atinge o ponto médio de um lado. Como um hexágono regular é um polígono composto por 6 triângulos equiláteros é tido que :

      ➤ O apótema do hexágono é igual a altura de um dos 6 triângulos.

↳ Essa afirmação constata-se com o auxílio da propriedade dos triângulos equiláteros que será explicada mais adiante.

• Achando a altura de um desses triângulos :

       $h = \dfrac{l\sqrt{3} }{2}$ → $h = \dfrac{4\sqrt{3} }{2}$ → $h = 2\sqrt{3}$ cm ⇔ apótema $= 2\sqrt{3}$ cm

• Encontrando a área do hexágono :

↳ Como o hexágono é composto por 6 triângulos equiláteros a sua área será dada pela seguinte expressão :

Área hexágono = 6 x Área triângulo equilátero

Área hexágono = $\dfrac{6.l^{2}\sqrt{3} }{4}$ → $\dfrac{6.4^{2}\sqrt{3} }{4}$ → $\dfrac{96\sqrt{3} }{4}$ ⇔ Área hexágono $= 24\sqrt{3}$ cm²

• Se as áreas dos dois polígonos são iguais é possível escrever o seguinte :

        Área do hexágono = Área do triângulo equilátero

             $\dfrac{6.l^{2}\sqrt{3} }{4}$ $= \dfrac{l^{2}\sqrt{3} }{4}$

Como a Área do hexágono também é equivalente a $24\sqrt{3}$ cm² é tido que :

             $24\sqrt{3} = \dfrac{l^{2}\sqrt{3} }{4}$

• Calculando o lado do triângulo equilátero :

        $4.24\sqrt{3} = l^{2}\sqrt{3}$ → $l^{2}\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$ ⇔ $l^{2} = 96$ → $lado = \sqrt{96}$ cm

• No caso de um triângulo equilátero para entendermos como calcular o seu apótema é necessário recorrermos a uma de suas propriedades que diz que :

      ↳ A mediana, bissetriz e altura de um dado vértice são coincidentes.

Note que o apótema corresponde a um terço da mediana já que ele parte do Circuncentro do triângulo e atinge o Ponto Médio de um dos lados. Como em um triângulo equilátero os 4 pontos notáveis são representados pelo mesmo lugar geométrico é tido que :

• O Circuncentro é também Incentro, Ortocentro e Baricentro. Se o apótema equivale a um terço da mediana e a mediana é igual a altura do triângulo então :

➤ O apótema do triângulo equilátero equivale a um terço da altura do polígono.

• Encontrando a altura do triângulo equilátero :

        $h = \dfrac{l\sqrt{3} }{2}$ → $h = \dfrac{\sqrt{96} .\sqrt{3} }{2}$ → $h = \dfrac{\sqrt{288} }{2}$

        Após fatorar o 288 nós ficamos com o seguinte :

        $h = \dfrac{\sqrt[2]{2^{2}.2^{2}.2.3^{2}} }{2}$→  $h = \dfrac{12\sqrt{2} }{2}$ → $h = 6\sqrt{2}$ cm

• Achando o apótema do triângulo equilátero :

        $a = \dfrac{h}{3}$ → $a = \dfrac{6\sqrt{2} }{3}$ ⇔ apótema $= 2\sqrt{2}$ cm

• Por fim basta calcularmos a razão pedida no exercício :

       $R = \dfrac{ah}{at}$ → $R = \dfrac{2\sqrt{3} }{2\sqrt{2} }$ → $R = \dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} }$

       Racionalizando o denominador :

      $R = \dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x \sqrt{2}$ →   $R = \dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{2} }{\sqrt{2}.\sqrt{2} }$ ⇔ $R = \dfrac{\sqrt{6} }{2} }$

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