Question

Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,7) e é tangente à

circunferência (x – 2)^2

+ (y – 3)2^

= 25.​

Answer 1

Resposta:

$\sf (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$   ← hipérbole

$\sf P(-1,7)$

Resolução:

Centro (2,3)  e r = 5

Determinar coeficiente angular da reta que passa pelo ponto P e pelo Centro C.

P( -1; 7)  e  C(2; 3)

$\sf m_1= \dfrac{y_p - y_c}{x_p - x_c} = \dfrac{7 - 3}{-1 - 2} = \boldsymbol{ \sf \displaystyle - \dfrac{4}{ 3 } }$

A reta tangente é perpendicular a esta reta.

$\sf m_1 \cdot m_2 = - 1$

$\sf - \dfrac{4}{3} \cdot m_2 = - 1 \quad \gets \text {\sf multiplicat por - 3.}$

$\sf 4m_2 = 3$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle m_2 = \dfrac{3}{4} }$

Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P( -1; 7).

$\sf y - y_0 = m\cdot (x - x_0)$

$\sf y - 7 = \dfrac{3}{4} \cdot (x - ( - 1) \,)$

$\sf y - 7 = \dfrac{3}{4} \cdot (x + 1)$

$\sf y - 7 = \dfrac{3}{4} \cdot x + \dfrac{3}{4}$

$\sf y = \dfrac{3}{4} \cdot x + \dfrac{3}{4} + 7$

$\sf y = \dfrac{3}{4} \cdot x + \dfrac{3}{4} + \dfrac{28}{4}$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle y = \dfrac{3}{4} \cdot x + \dfrac{31}{4} } \quad \gets$

Equação Geral:

$\sf y = \dfrac{3}{4} \cdot x + \dfrac{31}{4}$

$\sf \dfrac{4y}{4} = \dfrac{3}{4} \cdot x + \dfrac{31}{4}$

$\sf 4y = 3x + 31$

$\sf 3x + 31 = 4y$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle 3x - 4y + 31 = 0 } \quad \gets$

Explicação passo-a-passo: