Question

Considere a seguinte integral:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{e)~\dfrac{1}{4}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral, utilizaremos a técnica de integração por partes.

Seja a integral definida:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{1}{2}}xe^{2x}\,dx$

A técnica consiste na fórmula: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du$.

Como critério de escolha para $u$, temos a propriedade LIATE: dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Então, seja $u=x$ e $dv=e^{2x}\,dx$. Diferenciamos ambos os lados da expressão em $u$ e integramos ambos os lados da expressão em $dv$:

$u'=x'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=1\Rightarrow du=dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}\,dx}\\\\\\ v=\dfrac{e^{2x}}{2}$

Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{1}{2}} xe^{2x}\,dx=x\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}-\int \dfrac{e^{2x}}{2}\,dx~\biggr|_0^{\frac{1}{2}}$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$ e calcule a integral da função exponencial

$\displaystyle{x\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}- \dfrac{1}{2}\int e^{2x}\,dx~\biggr|_0^{\frac{1}{2}}}\\\\\\\\ x\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}- \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}~\biggr|_0^{\frac{1}{2}}$

Multiplique os valores

$x\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}~\biggr|_0^{\frac{1}{2}}$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a antiderivada da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{e^{2\cdot\frac{1}{2}}}{2}-\dfrac{e^{2\cdot\frac{1}{2}}}{4}-\left(0\cdot \dfrac{e^{2\cdot0}}{2}-\dfrac{e^{2\cdot0}}{4}\right)$

Multiplique os valores

$\dfrac{e}{4}-\dfrac{e}{4}-\left(-\dfrac{e^{0}}{4}\right)$

Efetue a propriedade de sinais

$\dfrac{e}{4}-\dfrac{e}{4}+\dfrac{e^0}{4}$

Sabendo que $e^0=1$, some os valores

$\dfrac{1}{4}$

Este é o resultado desta integral e é a resposta contida na letra e).