Question

VALE 50 PTOS -- Calcular área da região compreendida entre os graficos das funcoes y = x e y = x² - x , considerando 1 < x < 2 (dois símbolos menor ou igual)​

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\begin{cases} y = x \\ y = x {}^{2} - x \\ 1 \leqslant x \leqslant 2 \to [1,2] \end{cases}$

Para encontrar a área formada entre essas duas funções no intervalo de 1 à 2, basta montar a integral que representa a área formada, não será necessário encontrar às intersecções (limites de integração) já que a própria questão nos fornece.

Partindo de que uma integral de área é:

$\int\limits_{a}^{b}[f(x) - g(x)] dx \: \: \:$

Sendo f(x) a função que encontra-se acima, g(x) a que encontra-se abaixo e (a,b) os limites de integração. Montando o gráfico dessa função em um mesmo plano cartesiano, é possível observar que y = x está acima de y = x² - x, então digamos que:

$\int\limits_{1}^{2}x - (x {}^{2} - x)dx \longleftrightarrow \int\limits_{1}^{2}2x - x {}^{2} dx$

Abrindo essa integral definida em duas, através da da propriedade $\int[f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx$. Aplicando:

$\int\limits_{1}^{2 } 2xdx - \int\limits_{1}^{2}x {}^{2} dx \longleftrightarrow2 \int\limits_{1}^{2 } xdx - \int\limits_{1}^{2}x {}^{2} dx$

Agora devemos aplicar a regra da potência para integrais, que possui a seguinte relação:

$\int x {}^{n}dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1}$

Aplicando a tal regra:

$2. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} - \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} \bigg |_{1}^{2} \longleftrightarrow x {}^{2} - \frac{x {}^{3} }{3} \bigg |_{1}^{2}$

Para finalizar a questão, basta aplicar o Teorema fundamental do cálculo:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \to \bigg |_{a}^{b}$

Aplicando o Teorema:

$x {}^{2} - \frac{x {}^{3} }{3} \bigg |_{1}^{2} \longleftrightarrow 2 {}^{2} - \frac{2 {}^{3} }{3} - {1}^{2} + \frac{1 {}^{3} }{3} \: \: \longrightarrow \\ \\\longleftrightarrow4 - \frac{8}{3} - 1 + \frac{1}{3} \longleftrightarrow 3 - \frac{7}{3} \longleftrightarrow \frac{3.3 - 7}{ 3} \longrightarrow \\ \\ \longleftrightarrow \frac{9 - 7}{3} \longleftrightarrow \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{2}{3} u.a}}}$

Espero ter ajudado