Question

Considere a função f (x) = x⁴ - 3x³ + x².

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, faremos o teste das derivadas de primeira e segunda ordem.

Seja a função: $f(x)=x^4-3x^2+x^2$.

Calcule a derivada de primeira ordem da função. Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto entre uma potência e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.

$f'(x)=(x^4-3x^3+x^2)'\\\\\\ f'(x)=4x^3-9x^2+2x$

Então, calculamos $f'(x)=0$. Aqui, calcularemos o ponto crítico desta função.

$4x^3-9x^2+2x=0$

Fatorando a equação por um fator $x$, temos:

$x\cdot(4x^2-9x+2)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~4x^2-9x+2=0$

Utilizando a fórmula resolutiva, facilmente encontramos os pontos críticos

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{1}{4}~~~\mathtt{ou}~~~x=2$.

Então, calculamos a derivada de segunda ordem da função:

$f''(x)=(4x^3-9x^2+2x)'\\\\\\ f''(x)=12x^2-9x+2$

Lembre-se que, conhecendo os pontos críticos da função:

• Se $f''(x)>0$, esta função apresenta concavidade para cima e este ponto é um mínimo local.
• Se $f''(x)<0$, esta função apresenta concavidade para baixo e este ponto é um máximo local.

Substituindo os valores que encontramos, teremos:

$f''(0)=2\Rightarrow~\bold{0~\'e~um~m\'inimo~local}}\\\\\\ f''\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{7}{4}\Rightarrow~\bold{\dfrac{1}{4}~\'e~um~m\'aximo~local}\\\\\\ f''(2)=14\Rightarrow~\bold{2~\'e~um~m\'inimo~local~(e~absoluto)}$

Estes são os pontos de máximo e mínimo locais desta função.

Para determinarmos os intervalos de crescimento da função, lembre-se que:

• Os valores que antecedem um ponto de mínimo local determinam um intervalo decrescente.
• Os valores que se encontram entre pontos de mínimo e máximo locais determinam um intervalo crescente (e vice-versa).
• Os valores que se encontram após um ponto de mínimo local determinam um intervalo crescente.

Assim, definimos que:

A função $f(x)$ é decrescente nos intervalos $]-\infty,~0]$ e $\left[\dfrac{1}{4},~2\right]$ e é crescente nos intervalos $\left[0,~\dfrac{1}{4}\right]$ e $[2,~\infty[$.