Respostas
Resposta:
Círculo
Podemos definir um círculo como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma circunferência, ou seja, é o espaço contido dentro da circunferência.
Todo círculo ou circunferência possui alguns elementos importantes:
O é o centro da circunferência;
AB¯¯¯¯¯¯¯¯ é o Diâmetro (D);
AO¯¯¯¯¯¯¯¯ e OB¯¯¯¯¯¯¯¯ são raios (r);
Setor circular
Um setor circular é uma região do círculo delimitada por dois de seus raios, partindo do centro e um arco:
Usualmente podemos chamar um setor circular de “fatia de pizza”, pelo seu formato. O ângulo θ é chamado de ângulo central.
De acordo com seu ângulo, um setor circular pode ser classificado como:
Metades: quando o ângulo central mede 180°
Quadrantes: quando o ângulo central mede 90°
Oitantes: quando o ângulo central mede 45°:
Área em função do ângulo central
Seja um setor circular de raio r = 4 cm e ângulo central θ=60o.
Para calcular a área, devemos ter a medida do ângulo central e a medida do raio, como está na figura.
Devemos pensar: "a área do setor de ângulo 60° e raio 4 cm corresponde a que fração da área do círculo inteiro?"
Também devemos pensar: "60° corresponde a que fração de 360°?"
Isso porque a fração que 60° corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo.
Assim, teremos a seguinte relação:
60o360o=636=16
Ou seja, 60° é 16 de 360º. Isso quer dizer que a área do setor circular também será 16 da área total do círculo. Lembrando que a área de um círculo é dada por Acirculo=πr2, teremos:
Asetor=16⋅πr2
Asetor=16⋅π⋅42
Asetor=16⋅π⋅16
Asetor=16π6cm2
Substituindo π por 3,14, teremos:
Asetor=16π6=16⋅3,146=8,37cm2
Lembrando que o valor de π, usualmente é 3,14. Mas há alguns casos onde o exercício pode pedir para que se adote π=3,1 ou mesmo π=3. Também pode ocorrer que se peça com mais casas decimais.
Encontrando uma fórmula
Vamos generaliza uma fórmula para calcularmos a área de um setor circular.
Como a fração que o ângulo central corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo, podemos fazer:
Asetor=θ360o⋅πr2
Asetor=θ⋅πr2360o
Isso considerando que o ângulo está dado em graus. Caso a medida do ângulo esteja em radianos, teremos que 360o=2π, então:
Asetor=θ2π⋅πr2
Asetor=r2θ2
Para entender esta fórmula podemos usar uma proporção simples, pois a razão entre o ângulo do setor e 360° é a mesma que a área do setor e a área total:
{θAsetor→360o→Acirculo
{θAsetor→360o→πr2
360o⋅Asetor=θπr2
Asetor=θ⋅πr2360o
Área em função do comprimento do arco
É possível determinar a área de um setor circular sabendo o comprimento do arco que o delimita.
Primeiro, vamos lembrar como se calcula o comprimento de um arco através de uma simples proporção.
Imaginemos um círculo de raio r, ângulo θ e arco L .
O comprimento do círculo todo, com um ângulo de 360°, é o mesmo que o comprimento de uma circunferência, ou seja, C=2πr.
Queremos saber qual o comprimento de um arco, cujo ângulo é θ. Assim, temos:
{360oθ→2πr→L
360o⋅L=θ2πr
L=2πrθ360o
L=πrθ180o
Já sabemos que a área do setor será: Asetor=θ⋅πr2360o.
Vamos isolar πθ na fórmula do comprimento do arco L, para substituir na fórmula da área do setor.
L=πrθ180o
180o⋅L=πrθ
πrθ=1800⋅L
πθ=180o⋅Lr
Substituindo na fórmula da área do setor, teremos:
Asetor=θ⋅πr2360o
Asetor=πθ⋅r2360o
Asetor=180o⋅Lr⋅r2360o
Asetor=1L1⋅r2
Asetor=Lr2
Assim, a área de um setor circular também pode ser obtida, sabendo apenas o raio e a medida do arco que o delimita, sem necessidade do ângulo.
Exemplos:
1. Calcule a área de um setor circular, sabendo que o seu raio mede 5 cm e que o seu ângulo central mede 45°. (Adote π=3).
{r=5cmθ=45o
Asetor=45o⋅3⋅52360o
Asetor=1⋅3⋅258
Asetor=758=9,37cm2
2. Qual a área de um setor cujo arco mede 30 cm, com raio igual a 7 cm?
Asetor=Lr2
Asetor=30⋅72
Asetor=2102=105cm2
Explicação passo-a-passo:
Resposta:
Área setor circular = ângulo x pi x raio ao quadrado /360
Área setor circular = 30 x 3,14 x 100 /360
Área setor circular = 26,160cm