Question

Um cubo está inscrito numa esfera de raio R. escolhe-se aleatoriamente um ponto no interior da esfera, qual a probabilidade desse ponto também pertencer ao cubo?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

A diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera

$\sf a\sqrt{3}=2r$

$\sf a=\dfrac{2r}{\sqrt{3}}$

$\sf a=\dfrac{2r}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\sf a=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}$

• Volume do cubo

$\sf V=a^3$

$\sf V_{cubo}=\Big(\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}\Big)^3$

$\sf V_{cubo}=\dfrac{8r^3\cdot3\sqrt{3}}{27}$

$\sf V_{cubo}=\dfrac{8\sqrt{3}\cdot r^3}{9}$

• Volume da esfera

$\sf V_{esfera}=\dfrac{4\cdot\pi\cdot r^3}{3}$

A probabilidade é:

$\sf P=\dfrac{V_{cubo}}{V_{esfera}}$

$\sf P=\dfrac{\frac{8\sqrt{3}\cdot r^3}{9}}{\frac{4\cdot\pi\cdot r^3}{3}}$

$\sf P=\dfrac{8\sqrt{3}\cdot r^3}{9}\cdot\dfrac{3}{4\cdot\pi\cdot r^3}$

$\sf P=\dfrac{24\sqrt{3}\cdot r^3}{36\pi\cdot r^3}$

$\sf P=\dfrac{24\sqrt{3}}{36\pi}$

$\sf P=\dfrac{2\sqrt{3}}{3\pi}$

$\sf P\approx36,73\%$