Question

Determine a equação da reta tangente à circunferência x² + y² - 16x - 6y + 48 = 0 pelo ponto P(5, 7).
a)6x + 7y + 16 = 0
b)2x + 3y + 12 = 0
c)3x - 4y + 13 = 0
d)5x - 6y + 15 = 0
e)4x + 5y + 14 = 0

Urgente pls

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

• Centro

$\sf x^2+y^2-16x-6y+48=0$

• $\sf (x-8)^2=x^2+16x+64$

• $\sf (y-3)^2=y^2-6y+9$

Somando $\sf 64+9-48=25$ a ambos os membros da equação dada:

$\sf x^2+y^2-16x-6y+48+25=25$

$\sf x^2-16x+64+y^2-6y+9=25$

$\sf (x-8)^2+(y-3)^2=5^2$

Essa circunferência tem centro C(8, 3)

O coeficiente angular da reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto P é:

$\sf m_r=\dfrac{y_P-y_C}{x_P-x_C}$  

$\sf m_r=\dfrac{7-3}{5-8}$

$\sf m_r=\dfrac{4}{-3}$

$\sf m_r=\dfrac{-4}{3}$

A reta tangente à circunferência é perpendicular à reta que passa pelo ponto P e pelo centro

Se duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é -1

$\sf m_r\cdot m_s=-1$

$\sf \dfrac{-4}{3}\cdot m_s=-1$

$\sf -4\cdot m_s=3\cdot(-1)$

$\sf -4\cdot m_s=-3$

$\sf m_s=\dfrac{-3}{-4}$

$\sf m_s=\dfrac{3}{4}$

A equação da reta é:

$\sf y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

$\sf y-7=\dfrac{3}{4}\cdot(x-5)$

$\sf 4y-28=3x-15$

$\sf 3x-4y-15+28=0$

$\sf \red{3x-4y+13=0}$

Letra C