Na figura, os triângulos ABC e BCD são isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, e A, B, C estão alinhados.
a) Dê a medida do ângulo BÂD em graus.
b) Se BD= x, obtenha a expressão da área do triângulo ABD em função de x.
Respostas
"Na figura, os triângulos ABD e BCD são isósceles."
a)
Se ABD e BCD são triângulos isósceles, isso significa que dois de seus lados são iguais. Consequentemente, os ângulos formados por esses lados e o terceiro são congruentes, ou seja, os ângulos da "base" de cada Δ são iguais.
Observe na imagem os pares de ângulos. Os da mesma cor possuem o mesmo valor. Note que BAD (em azul) somado ao ângulo preto adjacente (DBC) resulta em 180°. Nesse sentido,
BAD + DBC = 180
Porém observe que como triângulo BCD é retângulo e DBC e CDB são iguais, então eles valerão 45° cada uma vez que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Ou seja, 45° + 45° + 90° = 180°. Portanto,
BAD + 45° = 180°
BAD = 135°
b)
A área do triângulo ABD pode ser calculada pela fórmula: A = base x altura / 2. Nesse contexto, como BD = x então a base AB vale x, pois o triângulo ABD é isósceles).
A única coisa que falta descobrir é a altura DC. Observe que o triângulo BCD é retângulo, isso nos permite aplicar o teorema de Pitágoras. Seja BD = x e BC = CD (BCD é isósceles):
BC² + DC² = x²
DC² + DC² = x²
2DC² = x²
DC² = x²/2
DC = √(x²/2)
DC = x/√2 = x√2/2
DC é o valor da altura. Logo, a área será:
A = base . altura / 2
A = x . (x√2/2) / 2
A = x²√2/4
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