Question

um empresário estima que, se fabricar x unidades, de um certo produto, terá um lucro de P(x)= 4000 (15-x) (x-2) reais. determine P'(x) e o valor para o qual P'(x)= 0

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Answer 1

P(x) = 4000 (15 − x) • (x − 2)

Expandindo a expressão obtém-se:

P(x) = 4000 (−x² + 17x − 30)

P(x) = −4000x² + 68000x − 120000

Observe que:

• P(x) representa o lucro em função de x.
• P(x) é uma função do segundo grau e é representada por uma parábola de concavidade para baixo, pois o coeficiente de x² é negativo.
• O vértice da parábola representa o valor máximo da função, portanto é o par ordenado com o valor de x em que o lucro P(x) é máximo.
• A reta tangente à parábola em seu vértice possui coeficiente angular igual a zero (pois é horizontal).
• A derivada de uma função num determinado ponto é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto.

Vamos então derivar a função P(x) e igualá-la a zero para encontrar o valor de x (quantidade do produto a ser fabricada) para que se tenha lucro máximo.

P(x) = −4000x² + 68000x − 120000

P'(x) = −8000x + 68000

P'(x) = 0  

−8000x + 68000 = 0

8000x = 68000

x = 8,5

Portanto:

P'(x) = −8000x + 68000

Para P'(x) = 0  ⟶  x = 8,5