Question

Nos problemas abaixo determine as funções compostas f(g(x)) e g(f(x)) e os valores de x (se existirem) para os quais f(g(x)) = g(f(x)).

a. f(x) = x^2 + 3, g(x) = x – 8
b. f(x) = x^2 + 9, g(x) = x − 1

Answer 1

Resposta:

a)

f(g(x))= x²-16x +67

g(f(x))= x²-5

x = 4,5

b)

f(g(x)) = x²-2x+10

g(f(x)) = x-2

Não existe x Real para os quais f(g(x)) = g(f(x))

Explicação passo-a-passo:

a)

A função composta, funciona da seguinte forma:

função composta, funciona da seguinte forma:f(g(x)): o resultado da função g(x) é passada como o valor de x para f(x).

Podemos montar f(g(x)) da seguinte forma:

Onde tivermos x em f(x), substituímos pela expressão inteira de g(x)

f(x) = x²+3

g(x)= x-8

f(g(x))= g(x)²+3

Como g(x) = x-8:

f(g(x))= (x-8)²+3 = x²-16x+64+3= x²-16x+67

O mesmo vale para g de f(x)

g(f(x))= x²+3-8 = x²-5

Agora que temos nossas funções, para descobrirmos em quais valores de x f(g(x)) = g(f(x)), basta que a gente iguale ambas.

x²-16x+67 = x²-5

-16x = -67-5

multiplicamos por -1 para deixar tudo positivo e simplificar a conta:

16x = 67+5

16x = 72

x = 72/16 = 4,5

Quando x = 4,5 as 2 funções são iguais.

b)

f(x) = x²+9

g(x) = x-1

f(g(x)) = g(x)² + 9 = (x-1)²+9 = x²-2x+10

g(f(x)) = f(x) - 1 = x-2

Igualando as 2 para descobrir x:

x²-2x+10 = x-2

x²-3x+12 = 0

Para descobrir se temos algum x que satisfaça, vamos ter que calcular as raizes da equação do segundo grau:

delta = b²-4ac

9-4×1×12

9-48

-39

OPA

como delta < 0, não existem raízes reais para a equação!

Então, não tem x que faça as 2 funções serem iguais.

Espero ter ajudado:)

Answer 2

Resposta:

Letra A é 1

Letra B é 0

Explicação passo-a-passo:

Começamos pela letra A

Temos duas funções

F(x) = x^2 + 3

G(x) = x - 8

para determinar F(G(x)) , basta substituímos o valor x na Função F(x) pelo G(x)

F(G(x)) = (x - 8)^2 + 3 --> resolvendo o quadrado temos

F(G(x)) = x^2 - 16x + 11

Agora resolveremos  G(F(x))

G(F(x)) = (x^2 + 3) - 8 ---> arrumando a função temos

G(F(x)) = x^2 - 5

agora que achamos as funções composta, agora vamos encontrar os valores de x para G(F(x)) = F(G(x))

x^2 - 5  = x^2 - 16x + 11 ---> cancelamos x^2 com o outro x^2

- 5 = -16x + 11 ---> 16x = 16 ----> x = 1

Logo para a letra A , temos que o valor de x é 1

Letra B

F (x) = x^2 + 9 e G(x) = x − 1

Vamos determinar F(G(x))

F(G(x)) = (x - 1 )^2 + 9

F(G(x)) = x^2 - 2x + 8

Agora G(F(x))

G(F(x)) = ( x^2 + 9 ) − 1

G(F(x)) = x^2 + 8

Agora  vamos achar valores de x para G(F(x)) = F(G(x))

x^2 + 8 = x^2 - 2x + 8 ---> cancelamos x^2 com o outro x^2

8 = - 2x + 8 ----> Resolvendo x = 0

Logo para a letra B , temos que o valor de x é 0