Question

No plano cartesiano abaixo, estão representados os gráficos das funções afins f e g que intersectam o eixo x nos pontos A e B, respectivamente.
O triângulo PAB é retângulo isósceles e o ponto P (√2,√2) é a interseção das retas. A soma das raízes dessas funções é igual a:
(A) 4√2
(B) 3√2
(C) 2√2
(D) √2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja $\sf f(x)=ax+b$

O gráfico da função f passa pelo ponto (0, 0), então $\sf f(0)=0$

$\sf a\cdot0+b=0$

$\sf 0+b=0$

$\sf b=0$

O gráfico da função f também passa pelo ponto $\sf P(\sqrt{2},\sqrt{2})$, logo $\sf f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$

$\sf a\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$\sf a=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\sf a=1$

Assim, $\sf f(x)=x$.

As retas que representam os gráficos das funções f e g são perpendiculares, logo o produto dos coeficientes angulares dessas retas é -1

Desse modo, se $\sf g(x)=mx+n$, temos que $\sf m=-1$ e como gráfico passa pelo ponto $\sf P(\sqrt{2},\sqrt{2})$, temos $\sf g(\sqrt{2})=\sqrt{2}$

$\sf -1\cdot\sqrt{2}+n=\sqrt{2}$

$\sf n=\sqrt{2}+\sqrt{2}$

$\sf n=2\sqrt{2}$

Logo, $\sf g(x)=-x+2\sqrt{2}$

=> Raiz de f

$\sf f(x)=x$

• $\sf f(x)=0$

$\sf \red{x=0}$

=> Raiz de g

$\sf g(x)=-x+2\sqrt{2}$

• $\sf g(x)=0$

$\sf -x+2\sqrt{2}=0$

$\sf x=2\sqrt{2}$

A soma das raízes é:

$\sf S=0+2\sqrt{2}$

$\sf \red{S=2\sqrt{2}}$

Letra C