Question

na função quadrática f(x)=x2+kx+4 , qual deve ser o valor de k para que a função admita duas raízes diferentes ?

a)k<3
b)k=2
c) k>2
d) k>4
e) k=1​

Answer 1

Resposta:

Para o número real "k" presente nos intervalos ] -∞, -4 [ e ] 4, +∞ [, a função f(x) = x² + kx + 4 admite duas raízes reais e diferentes.

Os valores de "k" que satisfazem a condição são k < -4 e k > 4.

A alternativa correta é a alternativa D.

Explicação passo a passo:

A Tarefa nos coloca a função quadrática ou função de 2º grau x² + kx + 4, pedindo-nos para determinar os valores de "k" para os quais a função admita duas raízes reais e diferentes.

Para a solução da questão, adotaremos os seguintes passos:

• 1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c.

O coeficiente "a" é o número que está ligado ao termo "x²". O coeficiente "b" é o número que acompanha o termo "x". O coeficiente "c" é o termo independente, não ligado à variável "x".

Na função f(x) = x² + kx + 4, os coeficientes são: a = 1, b = k, c = 4.

2º Passo: Calcular o Delta (Δ) ou o Discriminante.

A partir do valor do Delta (Δ) ou do Discriminante da função, podemos, antecipadamente, verificar o número de raízes que a função admite:

1. Se o valor do Delta (Δ) for maior do que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.
2. Se o valor do Delta (Δ) for menor do que zero (Δ < 0), a equação não apresentará raízes reais.
3. Se o valor do Delta (Δ) for igual a zero (Δ = 0), a equação terá duas raízes reais e iguais ou uma única solução real.

A Tarefa nos coloca determinar o valor de "k", na condição de a função do 2º grau admitir duas raízes reais e diferentes.

Logo, o valor do Delta (Δ) deve ser maior do que zero (Δ > 0).

Vejamos:

$\Delta > 0\\b^{2}-4\times a\times c > 0\\k^{2}-4\times 1\times4 > 0\\k^{2}-16 > 0$

• 3º Passo: Estudar o sinal da inequação de 2º grau.

Nós devemos estudar o sinal da inequação de 2º grau k² - 16 > 0 para que encontremos o intervalo da inequação em que seus valores são negativos.

Para resolvermos a inequação de 2º grau, é necessário encontrar valores cuja expressão do lado esquerdo do sinal de desigualdade forneça solução menor do que 0 (valores negativos).

Inicialmente, identifiquemos os coeficientes: a = 1, b = 0, c = -16.

Utilizemos a Fórmula de Bhaskara:

$\Delta=b^{2}-4\times a\times c\\\Delta=0^{2}-4\times1\times-16\\\Delta=0+64\\\Delta=64$

Identifiquemos as raízes ou zeros:

$k_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~e~k_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\k_{1}=\frac{-0-\sqrt{64} }{2\times1}=\frac{0-\sqrt{8^{2}}}{2}=\frac{-8}{2}=-4\\k_{2}=\frac{-0+\sqrt{64} }{2\times1}=\frac{0+\sqrt{8^{2}}}{2}=\frac{+8}{2}=+4$

As raízes ou zeros são k = -4 e k = 4.

Como o coeficiente "a" é igual a 1, ou seja, maior do que zero (a > 0), o gráfico da função k² - 16 apresenta a concavidade voltada para cima.

Assim, no intervalo entre as raízes, a função assumirá valores menores do que zero (k² - 16 < 0). Nos demais intervalos, a função assumirá valores maiores do que zero (k² - 16 > 0).

Vejamos:

<+++++++++++-4-----------+4+++++++++++>

Para o número real "k" presente nos intervalos ] -∞, -4 [ e ] 4, +∞ [, a função f(x) = x² + kx + 4 admite duas raízes reais e diferentes.

Os valores de "k" que satisfazem a condição são k < -4 e k > 4.

A alternativa correta é a alternativa D.