Question

dados os complexos z = 6( cos π/16 + i . sen π/16 e w = 3( cos π/4 + i. sen π/4, determine z/w.
PRECISO DA CONTA !

Answer 1

Aplicaremos uma série de propriedades trigonométricas para chegar em um resultado simplificado.

Na divisão de números complexos devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Temos:

$\frac{z}{w} = \frac{6*(cos\pi/16 + i*sen\pi/16)}{3*(cos\pi/4 + i*sen\pi/4)}$

Realizando primeiro a divisão 6/3 ficaremos com:

$\frac{z}{w} = 2*\frac{cos\pi/16 + i*sen\pi/16}{cos\pi/4 + i*sen\pi/4}$

O conjugado do denominador é:

$\overline{w} = cos\pi/4 - isen\pi/4$

Deste modo, vamos ter:

$\frac{z*\overline{w}}{w*\overline{w}} = 2*\frac{(cos\pi/16 + i*sen\pi/16)*(cos\pi/4 + i*sen\pi/4)}{cos^2\pi/4 - sen^2\pi/4}$

Desenvolvendo o numerador:

$2*\frac{cos\pi/4*cos\pi/16 - sen\pi/4*sen\pi/16 + i*(sen\pi/16*cos\pi/4 + sen\pi/4*cos\pi/16)}{cos^2\pi/4 - sen^2\pi/4}$

Utilizando a relação cos²x - sen²x = cos2x, no denominador:

$2*\frac{cos\pi/4*cos\pi/16 - sen\pi/4*sen\pi/16 + i*(sen\pi/16*cos\pi/4 + sen\pi/4*cos\pi/16)}{cos\pi/2}$

Utilizando agora a relação cosxcosy = [cos(x - y) + cos(x + y)]/2 e senxseny = [cos(x - y) - cos(x + y)]/2, no numerador:

$2*\frac{(cos3\pi/16 + cos5\pi/16 + cos3\pi/16 - cos5\pi/16)/2 + i*(sen\pi/16*cos\pi/4 + sen\pi/4*cos\pi/16)}{cos\pi/2}$

Ficando com:

$2*\frac{cos3\pi/16 + i*(sen\pi/16*cos\pi/4 + sen\pi/4*cos\pi/16)}{cos\pi/2}$

Agora vamos utilizar as relações senxcosx = [sen(x - y) + sen(x + y)]/2, na parte imaginária do numerador:

$2*\frac{cos3\pi/16 + i*[(sen3\pi/16 + sen5\pi/16 + sen3\pi/16 + sen5\pi/16)/2]}{cos\pi/2}$

Resultando em:

$\frac{z}{w} = 2*\frac{cos3\pi/16 + i*(sen3\pi/16 + sen5\pi/16)}{cos\pi/2}$

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