Question

A alternativa que corresponde ao valor da integral ∫0^PI COS (X/2) DX É:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{a)~2}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta integral, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dx$

Faça uma substituição $u=\dfrac{x}{2}$. DIferenciamos ambos os lados da expressão para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=\left(\dfrac{x}{2}\right)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow du=\dfrac{1}{2}\,dx$

Multiplique ambos os lados da equação por $2$

$2\,du=dx$

Lembre-se que ao realizarmos uma mudança de variável, em uma integral definida, devemos alterar também seus limites de integração, para que estejam de acordo com a variável escolhida. Veja que quando $x\rightarrow0,~u\rightarrow0$ e quando $x\rightarrow\pi,~u\rightarrow\dfrac{\pi}{2}$, logo nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(u)\cdot2\,du$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(u)\,du$

Lembre-se que;

• A integral da função cosseno é igual a função seno.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Calcule a integral

$\displaystyle{2\cdot\sin(u)~\biggr|_0^{\frac{\pi}{2}}$

Aplique os limites de integração

$2\cdot\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)\right)$

Sabendo que $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ e $\sin(0)=0$, substitua e some os valores

$2\cdot(1-0)\\\\\\ 2$

Este é o resultado desta integral e é a resposta contida na letra a).