Question

Por favor se possível resolver passo a passo ^^

Answer 1

$\boxed{\boxed{x!=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)\cdot(x-4)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1}}$

Sendo assim, podemos escrever o fatorial de outras formas:

$\boxed{\boxed{x!=x\cdot(x-1)!=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)!=...}}$

Com isso, podemos simplificar frações envolvendo fatoriais
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a)

$\dfrac{n!}{(n-1)!}$

Se fossemos mexer no denominador, chegaríamos em

$(n-1)!=(n-1)\cdot(n-2)!=(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)!=...$

e não conseguiríamos simplificar a expressão. Mas, mexendo no numerador, teremos

$n!=n\cdot(n-1)!$

E, escrevendo n! assim, poderemos simplificar facilmente

$\dfrac{n!}{(n-1)!}=\dfrac{n\cdot(n-1)!}{(n-1)!}=\dfrac{n\cdot1}{1}=n$

b)

$\dfrac{(n+2)!}{(n+1)!}$

Se formos manipular (n + 1)!, nunca chegaremos em (n + 2)! para cortar

Já, manipulando (n + 2)!, obtemos:

$(n+2)!=(n+2)\cdot(n+1)\cdot n\cdot(n-1)\cdot...\cdot1=(n+2)\cdot(n+1)!$

Portanto:

$\dfrac{(n+2)!}{(n+1)!}=\dfrac{(n+2)\cdot(n+1)!}{(n+1)!}=n+2$

c)

$\dfrac{n!}{2!\cdot(n-2)!}$

Manipulando n!:

$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!$

Logo:

$\dfrac{n!}{2!\cdot(n-2)!}=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{2\cdot1\cdot(n-2)!}=\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}$