Question

Quantos são os subconjuntos de {1,2,3,4,5,6} que contêm pelo menos um múltiplo de 3?

Answer 1

Esta questão deve ser feita através de combinações. 

-primeiramente, subconjuntos com somente 1 termo. Temos somente o {3} e {6}, sendo então 2 subconjuntos. 

-agora, subconjuntos com 2 termos. Tente usar o seguinte raciocínio: 

(todos os subconjuntos de 2 termos possíveis) - (subconjuntos de 2 termos que não tem nenhum múltiplo de 3) = (subconjuntos de 2 termos que tem pelo menos um múltiplo de 3) 

Logo, é a combinação de todos os termos tomados 2 a 2 (C6,2) menos a combinação de todos os termos menos o 3 e o 6 tomados 2 a 2 (C4,2) 

C6,2 - C4,2 = 15 - 6 = 9 subconjuntos. 

- agora, os subconjuntos com 3 termos. Mesma coisa do de cima, mas agora são tomados 3 a 3. 

C6,3 - C4,3 = 20 - 4 = 16 subconjuntos. 

- agora, 4 termos. 

C6,4 - C4,4 = 15 - 1 = 14 subconjuntos. 

- agora, 5 termos. Nesse caso, não é possível usar a lógica anterior, mas ainda se usa combinação. Vejamos: temos 6 termos, queremos pegar 5, e pelo menos um deles é multiplo de 3. Mas dentro desse 6, temos 2 que são assim. Ora, logo todos os subconjuntos de 5 termos possuem pelo menos um multiplo de 3! Tente fazer um subconjunto de 5 e não pegar ou o 3 ou o 6! Logo, é a combinação de 6 tomados 5 a 5: 

C6,5 = 6 

- e por ultimo, 6 termos. Afinal, um conjunto é tambem seu próprio subconjunto. E só temos 1 subconjunto de 6 termos, que é o proprio conjunto {1,2,3,4,5,6}, sendo então somente 1 subconjunto. 

Somando todos: 

2+9+16+14+6+1 = 48 subconjuntos. 
 ALTERNATIVA ( C )