Question

Qual solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem de variáveis separáveis xyy'= 1-x² Escolha uma: a. y²=x²ln⁡(Cx) b. x²+ y²=ln⁡(Cx²) c. y³=x+ln⁡(Cx³) d. y²=x²+ ln⁡(Cx) e. x²+ y²=Cln⁡(x²)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{b)~x^2+y^2=\ln(Cx^2),~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos a seguinte equação diferencial ordinária não linear, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a equação:

$xyy'=1-x^2$

Divida ambos os lados da equação por $x$

$yy'=\dfrac{1}{x}-x$

Multiplique ambos os lados da equação por $2$

$2yy'=\dfrac{2}{x}-2x$

Considerando $y'=\dfrac{dy}{dx}$, temos

$2y\cdot\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{x}-2x$

Visto que esta é uma equação separável, multiplique ambos os lados da equação por $dx$

$2y\,dy=\left(\dfrac{2}{x}-2x\right)\,dx$

Integre ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int2y\,dy=\int\left(\dfrac{2}{x}-2x\right)\,dx$

Lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$.

Calcule as integrais

$2\cdot \left(\dfrac{y^2}{2}+C_1\right)=2\cdot(\ln|x|+C_2)-2\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}+C_3\right)\\\\\\\ y^2+2C_1=2\ln|x|+2C_2-x^2-2C_3$

Subtraia $2C_2$ em ambos os lados da equação e considere $2C_2-2C_3-2C_1=C_4$

$y^2=2\ln|x|-x^2+C_4$

Aplique as propriedades de logaritmo: $a\cdot\ln(x)=\ln(x^a)$ e $a=\ln(e^a)$

$y^2=\ln|x^2|-x^2+\ln(e^{C_4})$

Sabendo que $x^2\geq0,~\forall{x}\in\mathbb{R}$, temos

$y^2=\ln(x^2)-x^2+\ln(e^{C_4})$

Considere $e^{C_4}=C$ e aplique a propriedade de logaritmos: $\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\cdot b)\Leftrightarrow a,~b>0$

$y^2=\ln(x^2)-x^2+\ln(C)\\\\\\ y^2=\ln(Cx^2)-x^2$

Some $x^2$ em ambos os lados da equação

$x^2+y^2=\ln(Cx^2)$

Esta é a solução geral desta equação diferencial e é a resposta contida na letra b).