Question

Lim h->0 = (x+h)^3-x^3 / h​

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$

Primeiro vamos substituir o valor a qual o "x" tende para observar se há ou não indeterminação nesse limite.

$\lim_{h\to0}\frac{(x+0)^{3}-x^{3}}{0} = \frac{x {}^{3} - x {}^{3} }{0} = \boxed{\frac{0}{0}}$

De fato há uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, então vamos fazer alguma manipulação para que a mesma suma. Vamos começar desenvolvendo produto notável.

$(x + h) {}^{3} = x {}^{3} + 3x {}^{2}h + 3xh {}^{2} + h {}^{3}$

Substituindo essa expansão:

$\lim_{h\to0}\frac{x {}^{3} + 3x {}^{2}h + 3xh {}^{2} -x^{3}}{h} = \frac{x {}^{3} - x {}^{3} +3 x {}^{2}h + 3xh { }^{2} }{0} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{h\to0}\frac{3x {}^{2}h +3 xh {}^{2} }{h} = \lim_{h\to0} = \frac{3h {}^{} .(x {}^{2} +xh) }{h} = \lim_{h \to0} 3(x {}^{2} + xh)$

Provavelmente sumimos com a indeterminação, então vamos substituir mais uma vez o valor a qual o "x" tende:

$\lim_{h\to0}3(x {}^{2} + x.0) = 3x {}^{2} + 3.x.0 = 3x {}^{2}$

Portanto podemos concluir que:

$\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h} = 3x {}^{2}$

Espero ter ajudado