Question

4 – (Banco de itens) Os triângulos ABC e EFG são semelhantes, AB = 3 cm e EH = 4,5 cm. Utilizando os dados fornecidos, a razão perímetro ABC perímetro EFG é igual a a) 1 b) 2 3 c) 1 3 d) 1 4

Answer 1

Resposta:

letra c 1/3

sen 30° =4,5/x

1/2=4,5/x

x=9

sen 30° = x/3

1/2=x/3

2x=3

x=3/2

3/2/9/2

3/2 • 2/9

6/18 :3

2/6 :2

1/3

Answer 2

A razão entre o perímetro do triângulo ABC pelo perímetro do triângulo EFG é igual a 1/3.

Explicação:

Como pode ser notado pela figura (em anexo), os triângulos ABC e EFG são semelhantes devido ao critério AA (Ângulo, Ângulo), que estipula que dois triângulos são semelhantes desde que dois ângulos de um triângulo são congruentes (possuem a mesma medida) a dois ângulos dos outro triângulo.

Analisando a figura, vemos que os ângulos de 30º e $\bold{\alpha}$ são os responsáveis por garantir esta semanalhança.

Quando dois triângulos são semelhantes, temos que suas dimensões (catetos, hipotenusa, altura, perímetro, etc.) são proporcionais entre si. Matematicamente, temos:

$k=\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{EG}=\frac{BC}{FH}=\frac{AD}{EH}=\frac{P_{ABC}}{P_{EFG}}=...$

Desta forma, se encontrarmos a relação de proporção entre os triângulos, determinaremos a razão entre os perímetros. Neste exercício, temos duas formas de fazer isso:

• Determinando a altura AD do triângulo ABC

Por esta alternativa, utilizamos a relação de seno para determinar o valor da altura do triângulo ABC e depois comparamos ela com a altura do triângulo EFG.

Pela definição de seno:

$sen\left(30\º \right)=\frac{AD}{AB}$

$sen\left(30\º \right)=\frac{AD}{3,0}$

$AD=3,0\cdot sen\left(30\º \right)$

$AD=3,0\cdot 0,5$

$\bold{AD=1,5\:cm}$

Utilizando a relação de proporção para comparar as alturas:

$k=\frac{AD}{EH}$

$k=\frac{1,5}{4,5}$

$\bold{k=\frac{1}{3}}$

Consequentemente:

$\frac{P_{ABC}}{P_{EFG}}=k$

$\bold{\frac{P_{ABC}}{P_{EFG}}=\frac{1}{3}}$   (alternativa c)

• Determinando o cateto EF do triângulo EFG

Por esta alternativa, utilizamos a relação de seno para determinar o valor do cateto EF do triângulo EFG e depois comparamos ele com o cateto AB do triângulo ABC.

Pela definição de seno:

$sen\left(30\º \right)=\frac{EH}{EF}$

$sen\left(30\º \right)=\frac{4,5}{EF}$

$EF=\frac{4,5}{sen\left(30\º \right)}$

$EF=\frac{4,5}{0,5}$

$\bold{EF=9,0\:cm}$

Utilizando a relação de proporção para comparar os catetos:

$k=\frac{AB}{EF}$

$k=\frac{3,0}{9,0}$

$\bold{k=\frac{1}{3}}$

Consequentemente:

$\frac{P_{ABC}}{P_{EFG}}=k$

$\bold{\frac{P_{ABC}}{P_{EFG}}=\frac{1}{3}}$   (alternativa c)

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