Question

determine m e n para que o polinômio 2x^4 + 3x^3 + mx^2 - nx - 3 seja divisível por x^2 - 2x - 3

URGENTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Veja que:

x² - 2x - 3 = x² + x - 3x - 3

x² - 2x - 3 = x.(x + 1) - 3.(x + 1)

x² - 2x 3 = (x + 1).(x - 3)

Assim, para que esse polinômio seja divisível por x² - 2x - 3 ele deve ser divisível por x + 1 e por x - 3

Pelo teorema do resto, devemos ter P(-1) = 0 e P(3) = 0

=> P(-1)

P(-1) = 2.(-1)⁴ + 3.(-1)³ + m.(-1)² - n.(-1) - 3

P(-1) = 2.1 + 3.(-1) + m.1 + n - 3

P(-1) = 2 - 3 + m + n - 3

P(-1) = m + n - 4

Assim:

m + n - 4 = 0

m + n = 4

=> P(3)

P(3) = 2.3⁴ + 3.3³ + m.3² - n.3 - 3

P(3) = 2.81 + 3.27 + 9m - 3n - 3

P(3) = 162 + 81 + 9m - 3n - 3

P(3) = 9m - 3n + 240

Então:

9m - 3n + 240 = 0

3m - n + 80 = 0

3m - n = -80

Podemos montar o sistema:

• m + n = 4

• 3m - n = -80

Somando as equações:

m + 3m - n + n = 4 - 80

4m = -76

m = -76/4

m = -19

Substituindo na primeira equação:

m + n = 4

-19 + n = 4

n = 4 + 19

n = 23