Question

Sejam x' e x" as raízes da equação (n+1)x²-(n+3)x+1-n=0. Calcule n, de modo que uma das raízes seja 2.
Alternativas:
(a) +1
(b) -1
(c) +2
(d) -2

Answer 1

Resposta:

Letra a, n = 1.

Explicação passo-a-passo:

Essa é uma bela questão. Creio que a melhor maneira de resolvê-la seja por soma e produto das raízes. Veja, a soma nos diz que:

$S=\frac{-b}{a} \\\\x'+x''=\frac{-b}{a}$

Já o produto nos diz que:

$P=\frac{c}{a}\\\\ x'\cdot x''=\frac{c}{a}$

Com isso em mente, vamos separa os coeficientes da equação:

$a=n+1\\b=-(n+3)=-n-3\\c=1-n$

Bom, agora é álgebra. Vamos escolher uma raíz igual a 2, já que o problema exige, e depois substituir pelos coeficientes que temos. Começando pelo produto:

$x' \cdot x''=\frac{c}{a}\\\\x' \cdot 2 = \frac{1-n}{n+1}\\\\x' = \frac{1-n}{2\cdot(n+1)}\\\\x' = \frac{1-n}{2n+2}$

Agora que temos as duas raízes, 2 e essa equação encontrada, vamos substituir tudo na fórmula da soma. Veja:

$x' +x''= \frac{-b}{a}\\\\(\frac{1-n}{2n+2} ) +2= \frac{-(-n-3)}{n+1}\\\\(\frac{1-n}{2n+2} ) +2= \frac{n+3}{n+1}$

Aqui, vou tirar o mmc no lado esquerdo:

$(\frac{1-n}{2n+2} ) +2= \frac{n+3}{n+1}\\\\\frac{1-n+4n+4}{2n+2}= \frac{n+3}{n+1}\\\\\frac{3n+5}{2n+2}= \frac{n+3}{n+1}$

Agora podemos fazer a famosa multiplicação cruzada:

$\frac{3n+5}{2n+2}= \frac{n+3}{n+1}\\\\(3n+5)(n+1)=(n+3)(2n+2)$

Nessa parte, para evitar a distributiva, vou colocar o 2 em evidência afim de gerar o termo n+1 para facilitar, veja:

$(3n+5)(n+1)=(n+3)(2n+2)\\\\(3n+5)(n+1)=(n+3)\cdot2(n+1)\\\\(3n+5)=(n+3)\cdot2\\\\3n+5=2n+6\\\\3n-2n=6-5\\\\n=1$

Para verificar o resultado, podemos substituir o n na equação inicial e resolvê-la afim de validar se uma de suas raízes é realmente 2. Veja:

$(n+1)x^2-(n+3)x+1-n=0\\\\(1+1)x^2-(1+3)x+1-1=0\\\\2x^2-4x=0\\\\2x(x-2)=0\\\\x'=0\\\\x''-2=0\to x''=2$