Question

A derivada da funçãof(x)=(x+1)/(x^2+x+1) é

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{f'(x)=-\dfrac{x^2+2x}{(x^2+x+1)^2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada desta função, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função:

$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+x+1}$

Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável $x$

$f'(x)=\left(\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\right)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(x+1)'\cdot(x^2+x+1)-(x+1)\cdot(x^2+x+1)'}{(x^2+x+1)^2}$

Aplique a regra da soma

$f'(x)=\dfrac{[(x)'+(1)']\cdot(x^2+x+1)-(x+1)\cdot[(x^2)'+(x)'+(1)']}{(x^2+x+1)^2}$

Calcule as derivadas das potências e das constantes

$f'(x)=\dfrac{x^2+x+1-(x+1)\cdot(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f'(x)=\dfrac{x^2+x+1-2x^2-3x-1}{(x^2+x+1)^2}$

Some os termos semelhantes

$f'(x)=-\dfrac{x^2+2x}{(x^2+x+1)^2}$

Esta é a derivada desta função.